2.3. Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny

2.3.1. Konwersja liczb całkowitych z jednego systemu liczbowego na inny

Możliwe jest sformułowanie algorytmu konwersji liczb całkowitych z systemu radix P w układ z podstawą Q :

1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego, używając liczb z pierwotnego systemu liczbowego i wykonaj wszystkie kolejne czynności oryginalny system Rachunek.

2. Konsekwentnie dziel podaną liczbę i otrzymane ilorazy całkowite przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż otrzymamy iloraz mniejszy od dzielnika.

3. Wynikowe reszty, które są cyframi liczby w nowy system liczby, należy dostosować je do alfabetu nowego systemu liczbowego.

4. Ułóż liczbę w nowym systemie liczbowym, zapisując ją zaczynając od ostatniej reszty.

Przykład 2.12. Konwertuj liczbę dziesiętną 173 10 na układ ósemkowy notacja:

Otrzymujemy: 173 10 =255 8

Przykład 2.13. Konwertuj liczbę dziesiętną 173 10 na system szesnastkowy notacja:

Otrzymujemy: 173 10 = AD 16.

Przykład 2.14. Zamień liczbę dziesiętną 11 10 na system binarny. Wygodniej jest przedstawić sekwencję działań omówionych powyżej (algorytm tłumaczenia) w następujący sposób:

Otrzymujemy: 11 10 =1011 2.

Przykład 2.15. Czasami wygodniej jest zapisać algorytm tłumaczenia w formie tabeli. Zamieńmy liczbę dziesiętną 363 10 na liczbę binarną.

Rozdzielacz

Otrzymujemy: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Konwersja liczb ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny

Można sformułować algorytm przeliczania ułamka właściwego na zasadę P na ułamek o podstawie Q:

1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego liczbami z pierwotnego systemu liczbowego i wszystkie kolejne czynności wykonuj w pierwotnym systemie liczbowym.

2. Konsekwentnie mnożymy podane liczby i powstałe części ułamkowe iloczynów przez podstawę nowego układu, aż część ułamkowa iloczynu stanie się równy zeru lub zostanie osiągnięta wymagana dokładność reprezentacji liczb.

3. Powstałe części całkowite iloczynów będące cyframi liczby w nowym systemie liczbowym należy dostosować do alfabetu nowego systemu liczbowego.

4. Komponuj część ułamkowa liczby w nowym systemie liczbowym, zaczynając od części całkowitej pierwszego iloczynu.

Przykład 2.17. Konwertuj liczbę 0,65625 · 10 na system liczb ósemkowych.

Otrzymujemy: 0,65625 10 =0,52 8

Przykład 2.17. Konwertuj liczbę 0,65625 10 na system liczbowy szesnastkowy.

	X 16

Otrzymujemy: 0,65625 10 =0,A8 1

Przykład 2.18. Zamień ułamek dziesiętny 0,5625 10 na system binarny.

	X 2
	X 2
	X 2
	X 2

Otrzymujemy: 0,5625 10 = 0,1001 2

Przykład 2.19. Zamień ułamek dziesiętny 0,7 10 na system binarny.

Oczywiście proces ten może trwać w nieskończoność, dając coraz więcej nowych znaków w obrazie binarnego odpowiednika liczby 0,7 · 10. Zatem w czterech krokach otrzymujemy liczbę 0,1011 2, a w siedmiu krokach liczbę 0,1011001 2, która jest dokładniejszą reprezentacją liczby 0,7 10 w systemie liczb binarnych itd. Taki niekończący się proces w pewnym momencie kończy się, gdy uważa się, że uzyskano wymaganą dokładność reprezentacji liczbowej.

2.3.3. Tłumaczenie dowolnych liczb

Tłumaczenie dowolnych liczb, tj. liczby zawierające liczbę całkowitą i część ułamkową przeprowadza się dwuetapowo: część całkowita jest tłumaczona osobno, a część ułamkowa osobno. W końcowym zapisie wynikowej liczby część całkowitą oddziela się od części ułamkowej przecinkiem (kropką).

Przykład 2.20. Konwertuj liczbę 17,25 · 10 na system liczbowy binarny.

Otrzymujemy: 17,25 10 =1001,01 2

Przykład 2.21. Zamień liczbę 124,25 10 na system ósemkowy.

Otrzymujemy: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Konwersja liczb o podstawie 2 na podstawie 2 n i odwrotnie

Tłumaczenie liczb całkowitych. Jeśli podstawą systemu liczb q-arnych jest potęga 2, wówczas konwersję liczb z systemu liczb q-ary na system liczb 2-arnych i odwrotnie można przeprowadzić przy użyciu więcej proste zasady. Aby zapisać liczbę binarną całkowitą w systemie liczbowym o podstawie q=2 n, potrzebujemy:

1. Podziel liczbę binarną od prawej do lewej na grupy po n cyfr każda.

2. Jeżeli ostatnia lewa grupa ma mniej niż n cyfr, to należy ją uzupełnić z lewej strony zerami do wymaganej liczby cyfr.

Przykład 2.22. Liczba 101100001000110010 2 zostanie przekonwertowana do systemu ósemkowego.

Liczbę od prawej do lewej dzielimy na triady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową:

Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 541062 8 .

Przykład 2.23. Liczba 1000000000111110000111 2 zostanie przekonwertowana na system liczb szesnastkowych.

Liczbę od prawej do lewej dzielimy na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową:

Otrzymujemy szesnastkową reprezentację oryginalnej liczby: 200F87 16.

Zamiana liczb ułamkowych. Aby zapisać ułamkową liczbę binarną w systemie liczbowym o podstawie q=2 n, potrzebujesz:

1. Podziel liczbę binarną od lewej do prawej na grupy po n cyfr każda.

2. Jeżeli ostatnia grupa po prawej stronie ma mniej niż n cyfr, należy ją uzupełnić po prawej stronie zerami do wymaganej liczby cyfr.

3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q=2 n.

Przykład 2.24. Liczba 0,10110001 2 zostanie przekonwertowana na system liczb ósemkowych.

Liczbę od lewej do prawej dzielimy na triady i pod każdą z nich zapisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową:

Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 0,542 8 .

Przykład 2.25. Liczba 0,100000000011 2 zostanie przekonwertowana na system liczb szesnastkowych. Liczbę od lewej do prawej dzielimy na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową:

Otrzymujemy szesnastkową reprezentację oryginalnej liczby: 0,803 16

Tłumaczenie dowolnych liczb. Aby zapisać dowolną liczbę binarną w systemie liczbowym o podstawie q=2 n, należy:

1. Podziel część całkowitą danej liczby binarnej od prawej do lewej, a część ułamkową od lewej do prawej na grupy po n cyfr każda.

2. Jeżeli ostatnie grupy po lewej i/lub prawej stronie mają mniej niż n cyfr, to należy je uzupełnić po lewej i/lub prawej stronie zerami do wymaganej liczby cyfr;

3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q = 2 n

Przykład 2.26. Przekonwertujmy liczbę 111100101.0111 2 na system liczb ósemkowych.

Dzielimy część całkowitą i ułamkową liczby na triady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową:

Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 745,34 8 .

Przykład 2.27. Liczba 11101001000,11010010 2 zostanie przekonwertowana na system liczb szesnastkowych.

Dzielimy część całkowitą i ułamkową liczby na zeszyty i pod każdym z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową:

Otrzymujemy szesnastkową reprezentację pierwotnej liczby: 748,D2 16.

Zamiana liczb z systemów liczbowych o podstawie q=2n na binarny. W celu dowolna liczba, zapisaną w systemie liczbowym o podstawie q=2 n, przeliczoną na system binarny, należy każdą cyfrę tej liczby zastąpić jej n-cyfrowym odpowiednikiem w systemie binarnym.

Przykład 2.28.Przekształćmy liczbę szesnastkową 4AC35 16 na system binarny.

Zgodnie z algorytmem:

Otrzymujemy: 1001010110000110101 2 .

Zadania do samodzielnego wykonania (Odpowiedzi)

2,38. Wypełnij tabelę, w każdym wierszu wpisz tę samą liczbę całkowitą różne systemy Rachunek.

Dwójkowy	ósemkowy	Dziesiętny	Szesnastkowy

2,39. Wypełnij tabelę tymi samymi informacjami w każdym rzędzie liczba ułamkowa muszą być zapisane w różnych systemach liczbowych.

Dwójkowy	ósemkowy	Dziesiętny	Szesnastkowy

2.40. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu ta sama dowolna liczba (liczba może zawierać zarówno część całkowitą, jak i ułamkową) musi być zapisana w różnych systemach liczbowych.

Dwójkowy	ósemkowy	Dziesiętny	Szesnastkowy
			59.B

Notatka 1

Jeśli chcesz przekonwertować liczbę z jednego systemu liczbowego na inny, wygodniej jest najpierw ją przekonwertować system dziesiętny system liczbowy, a dopiero potem dokonaj konwersji z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczbowy.

Zasady konwersji liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny

W technologia komputerowa, stosując arytmetykę maszynową, ważną rolę odgrywa konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny. Poniżej podajemy podstawowe zasady takich przekształceń (tłumaczeń).

Podczas przenoszenia Liczba binarna w systemie dziesiętnym wymagane jest przedstawienie liczby binarnej jako wielomianu, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w w tym przypadku$2$, a następnie musisz obliczyć wielomian, korzystając z zasad arytmetyki dziesiętnej:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Rysunek 1. Tabela 1

Przykład 1

Konwertuj liczbę $11110101_2$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $1$ podstawy $2$, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na dziesiętny, należy ją przedstawić w postaci wielomianu, którego każdy element jest przedstawiany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku przypadek $8$, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Rysunek 2. Tabela 2

Przykład 2

Konwertuj liczbę $75013_8$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $2$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Aby przekonwertować liczbę z postaci szesnastkowej na dziesiętną, należy przedstawić ją jako wielomian, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku 16 $, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Rysunek 3. Tabela 3

Przykład 3

Konwertuj liczbę $FFA2_(16)$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $3$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Zasady konwersji liczb z systemu dziesiętnego na inny

• Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system binarny, należy ją kolejno podzielić przez 2 $, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 1 $. Liczbę w systemie binarnym przedstawia się jako ciąg wyniku ostatniego dzielenia i reszty z dzielenia Odwrotna kolejność.

Przykład 4

Konwertuj liczbę $22_(10)$ na system liczb binarnych.

Rozwiązanie:

Rysunek 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na ósemkowy, należy ją kolejno podzielić przez 8 USD, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 7 USD. Liczbę w systemie ósemkowym przedstawia się jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład 5

Zamień liczbę $571_(10)$ na system liczb ósemkowych.

Rozwiązanie:

Rysunek 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system szesnastkowy, należy ją sukcesywnie dzielić przez 16 $, aż pozostanie mniejsza lub równa 15 $. Liczba w systemie szesnastkowym jest reprezentowana jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład 6

Konwertuj liczbę $7467_(10)$ na system liczbowy szesnastkowy.

Rozwiązanie:

Rysunek 6.

7467 $_(10) = 1D2B_(16)$

Aby zamienić ułamek właściwy z dziesiętnego systemu liczbowego na niedziesiętny system liczbowy, należy kolejno pomnożyć część ułamkową konwertowanej liczby przez podstawę systemu, na który ma zostać przeliczona. Ułamki w nowym systemie będą reprezentowane jako całe części produktów, zaczynając od pierwszej.

Na przykład: $0,3125_((10))$ w systemie liczb ósemkowych będzie wyglądać jak $0,24_((8))$.

W takim przypadku może wystąpić problem, gdy skończony ułamek dziesiętny może odpowiadać ułamkowi nieskończonemu (okresowemu) w systemie liczb niedziesiętnych. W takim przypadku liczba cyfr ułamka reprezentowanego w nowym systemie będzie zależała od wymaganej dokładności. Należy również zauważyć, że liczby całkowite pozostają liczbami całkowitymi, a ułamki właściwe pozostają ułamkami w dowolnym systemie liczbowym.

Zasady konwersji liczb z binarnego systemu liczbowego na inny

• Aby przekonwertować liczbę z system binarny numerując na ósemkowe, należy je podzielić na triady (potrójne cyfry), zaczynając od cyfry najmniej znaczącej, w razie potrzeby dodając zera do triady wiodącej, a następnie każdą triadę zastąpić odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.

Rysunek 7. Tabela 4

Przykład 7

Konwertuj liczbę $1001011_2$ na system liczb ósemkowych.

Rozwiązanie. Korzystając z Tabeli 4, konwertujemy liczbę z systemu binarnego na ósemkowy:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na szesnastkowy, należy ją podzielić na tetrady (cztery cyfry), zaczynając od cyfry najmniej znaczącej, w razie potrzeby dodając zera do tetrady najbardziej znaczącej, następnie każdą tetradę zastępując odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.

Czy są jakieś trudności lub nieporozumienia przy konwersji liczb z postaci binarnej na szesnastkową? Zapisz się do mnie na indywidualne lekcje z informatyki i ICT. Na naszych prywatnych lekcjach wraz z moimi uczniami analizujemy nie tylko część teoretyczną, ale także rozwiązujemy ogromną liczbę różnorodnych ćwiczeń tematycznych.

Musisz wiedzieć, co to jest system liczb binarnych lub binarnych

Zanim pomyślisz o tym, jak przekonwertować liczbę od 2 do 16, musisz dobrze zrozumieć, jakie liczby znajdują się w systemie liczb binarnych. Przypomnę, że alfabet systemu liczb binarnych składa się z dwóch ważnych elementów - 0 I 1 . Oznacza to, że absolutnie dowolna liczba wpisana dwójkowy, będzie składać się ze zbioru zer i jedynek. Oto przykłady liczb zapisanych w postaci binarnej: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Musisz wiedzieć, co to jest szesnastkowy system liczbowy

Z system binarny Rozpracowaliśmy to, przypomnieliśmy sobie podstawowe punkty, teraz porozmawiajmy o systemie szesnastkowym. Alfabet szesnastkowy składa się z szesnastu różnych znaków: 10 cyfr arabskich (od 0 do 9) i 6 wielkich liter Litery łacińskie(od „A” do „F”). Oznacza to, że absolutnie każda liczba zapisana w systemie szesnastkowym będzie składać się ze znaków powyższego alfabetu. Oto przykłady liczb zapisanych w notacji szesnastkowej:

810A

FCDF

198303

100FFF0

Porozmawiajmy o algorytmie konwersji liczby z 2 na system liczb szesnastkowych

Będziemy potrzebować obowiązkowy rozważ tabelę kodowania Tetrad. Bez korzystania z tej tabeli dość trudno będzie szybko przekonwertować liczby z systemu 2 na 16.

Celem tabeli kodowania Tetrad jest jednoznaczne dopasowanie symboli systemu liczb binarnych i systemu liczb szesnastkowych.

Tabela Tetrad ma następującą strukturę:

Stół Tetradowy
0000 - 0	0001 - 1	0010 - 2	0011 - 3	0100 - 4	0101 - 5	0110 - 6	0111 - 7
1000 - 8	1001 - 9	1010 - A	1011 - B	1100 - C	1101 - D	1110 - mi	1111 - F

Załóżmy, że musimy przekonwertować liczbę 101011111001010 2 na liczbę szesnastkową. Przede wszystkim potrzebujesz oryginału kod binarny podzielone na grupy po cztery kategorie i, co bardzo ważne, podział musi koniecznie rozpocząć się od prawej do lewej.

101 . 0111 . 1100 . 1010

Po podziale otrzymaliśmy cztery grupy: 101, 0111, 1100 i 1010. Na szczególną uwagę zasługuje segment skrajnie lewy, czyli segment 101. Jak widać jego długość wynosi 3 cyfry i konieczne jest, aby jego długość była równa cztery, dlatego dodamy ten segment wiodące zero:

101 -> 0 101.

Powiedz mi, na jakiej podstawie dodajemy jakieś 0 po lewej stronie liczby? Rzecz w tym, że dodanie nieistotnych zer nie ma żadnego wpływu na wartość pierwotnej liczby. Dlatego mamy wszelkie prawo dodaj nie tylko jedno zero po lewej stronie liczby binarnej, ale w zasadzie dowolną liczbę zer i uzyskaj liczbę o wymaganej długości.

NA Ostatni etap transformacji konieczne jest przekształcenie każdej z powstałych grup binarnych na odpowiednią wartość zgodnie z tabelą kodowania Tetrad.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> C

1010 -> A

101011111001010 2 = 57CA 16

A teraz sugeruję zapoznanie się z rozwiązaniem multimedialnym, które pokazuje, w jaki sposób jest on konwertowany ze stanu binarnego na stan szesnastkowy:

Krótkie wnioski

W tym krótkim artykule poruszyliśmy temat „ Systemy liczbowe: jak konwertować z 2 na 16" W przypadku pytań lub nieporozumień proszę dzwonić i zapisywać się na moje lekcje indywidualne z informatyki i programowania. Zaproponuję Ci rozwiązanie dziesiątek podobnych ćwiczeń i nie pozostanie Ci ani jedno pytanie. Ogólnie rzecz biorąc, systemy liczbowe są niezwykle ważnym tematem, który stanowi podstawę wykorzystywaną w całym kursie.

Osoby przystępujące do egzaminu Unified State Exam i nie tylko...

Dziwne, że na lekcjach informatyki w szkołach zwykle pokazują uczniom najbardziej złożony i niewygodny sposób konwertowania liczb z jednego systemu na drugi. Metoda ta polega na kolejnym podzieleniu pierwotnej liczby przez podstawę i zebraniu resztek z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Na przykład musisz przekonwertować liczbę 810 10 na binarną:

Wynik zapisujemy w odwrotnej kolejności od dołu do góry. Okazuje się, że 81010 = 11001010102

Jeśli chcesz przekonwertować na system binarny, całkiem duże liczby, wówczas drabina podziału przybiera wielkość budynku wielopiętrowego. A jak zebrać wszystkie zera i jedyneki i nie przegapić ani jednej?

W Ujednolicony program egzaminu państwowego w informatyce obejmuje kilka zadań związanych z tłumaczeniem liczb z jednego systemu na drugi. Zazwyczaj jest to konwersja pomiędzy systemem ósemkowym, szesnastkowym i binarnym. Są to sekcje A1, B11. Ale są też problemy z innymi systemami liczbowymi, jak na przykład w sekcji B7.

Przypomnijmy na początek dwie tabele, które warto poznać na pamięć tym, którzy wybierają informatykę jako swój przyszły zawód.

Tabela uprawnień liczby 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Można go łatwo uzyskać, mnożąc poprzednią liczbę przez 2. Jeśli więc nie pamiętasz wszystkich tych liczb, pozostałe nie są trudne do uzyskania w umyśle z tych, które pamiętasz.

Tabela liczb binarnych od 0 do 15 z reprezentacją szesnastkową:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	mi	F

Brakujące wartości można również łatwo obliczyć, dodając 1 do znanych wartości.

Konwersja liczb całkowitych

Zacznijmy więc od bezpośredniej konwersji do systemu binarnego. Weźmy tę samą liczbę 810 10. Musimy rozłożyć tę liczbę na części równe potęgom dwójki.

1. Szukamy potęgi dwójki najbliższej 810 i nieprzekraczającej jej. To jest 2 9 = 512.
2. Odejmij 512 od 810, otrzymamy 298.
3. Powtarzaj kroki 1 i 2, aż nie pozostaną żadne jedynki ani zera.
4. Mamy to tak: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Istnieją dwie metody, możesz użyć dowolnej z nich. Jak łatwo zauważyć, że w dowolnym systemie liczbowym jego podstawa wynosi zawsze 10. Kwadrat podstawy będzie zawsze wynosił 100, a sześcian 1000. Oznacza to, że stopień podstawy systemu liczbowego wynosi 1 (jeden) i kryje się za nim tyle zer, ile jest stopnia.

Metoda 1: Ułóż 1 według rang wskaźników terminów. W naszym przykładzie są to 9, 8, 5, 3 i 1. Pozostałe miejsca będą zawierały zera. Otrzymaliśmy więc binarną reprezentację liczby 810 10 = 1100101010 2. Jednostki umieszcza się na 9., 8., 5., 3. i 1. miejscu, licząc od prawej do lewej od zera.

Metoda 2: Zapiszmy wyrazy jako potęgi dwójki pod sobą, zaczynając od największego.

810 =

Teraz dodajmy te kroki razem, jak składanie wentylatora: 1100101010.

To wszystko. Po drodze pojawia się problem „ile jednostek w notacja binarna numer 810?

Odpowiedź jest taka, ile jest wyrazów (potęg dwójki) w tej reprezentacji. 810 ma ich 5.

Teraz przykład jest prostszy.

Przekonwertujmy liczbę 63 na system liczbowy pięcioarnikowy. Najbliższa potęga od 5 do 63 to 25 (kwadrat 5). Kostka (125) będzie już dużo. Oznacza to, że 63 leży pomiędzy kwadratem 5 a sześcianem. Następnie wybierzemy współczynnik dla 5 2. To jest 2.

Otrzymujemy 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

I wreszcie bardzo łatwe tłumaczenia między systemem 8 i szesnastkowym. Ponieważ ich podstawą jest potęga dwójki, tłumaczenie odbywa się automatycznie, po prostu poprzez zastąpienie liczb ich reprezentacją binarną. W systemie ósemkowym każdą cyfrę zastępuje się trzema cyframi binarnymi, a w systemie szesnastkowym czterema. W takim przypadku wymagane są wszystkie zera wiodące, z wyjątkiem najbardziej znaczącej cyfry.

Przekonwertujmy liczbę 547 8 na binarną.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Jeszcze jedno, na przykład 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Zamieńmy na system szesnastkowy liczbę 7368. Najpierw zapiszmy liczby w trójkach, a następnie podzielmy je od końca na czwórki: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Przekonwertujmy liczbę C25 16 na system ósemkowy. Najpierw zapisujemy liczby w czwórkach, a następnie dzielimy je od końca na trójki: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Teraz spójrzmy na konwersję z powrotem na dziesiętny. Nie jest to trudne, najważniejsze jest, aby nie popełniać błędów w obliczeniach. Rozbudowujemy liczbę do wielomianu z potęgami podstawy i ich współczynnikami. Następnie mnożymy i dodajemy wszystko. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Konwersja liczb ujemnych

Tutaj należy wziąć pod uwagę, że numer będzie prezentowany w dodatkowy kod. Aby przekonwertować liczbę na dodatkowy kod, trzeba znać ostateczny rozmiar liczby, czyli to, w co chcemy ją zmieścić – w bajcie, w dwóch bajtach, w czterech. Najbardziej znacząca cyfra liczby oznacza znak. Jeśli jest 0, to liczba jest dodatnia, jeśli 1, to jest ujemna. Po lewej stronie liczba jest uzupełniona cyfrą znaku. Nie bierzemy pod uwagę liczb bez znaku; są one zawsze dodatnie, a ich najbardziej znaczący bit służy jako informacja.

Do tłumaczenia Liczba ujemna należy przekonwertować na uzupełnienie binarne Liczba dodatnia do systemu binarnego, a następnie zamień zera na jedynki i jedynki na zera. Następnie dodaj 1 do wyniku.

Przekonwertujmy więc liczbę -79 na system binarny. Liczba zajmie nam jeden bajt.

Konwertujemy 79 do systemu binarnego, 79 = 1001111. Do wielkości bajtu dodajemy zera po lewej stronie, 8 bitów, otrzymujemy 01001111. Zmieniamy 1 na 0 i 0 na 1. Otrzymujemy 10110000. Dodajemy 1 do w rezultacie otrzymujemy odpowiedź 10110001. Po drodze odpowiadamy na pytanie z egzaminu Unified State Exam „ile jednostek znajduje się w binarnej reprezentacji liczby -79?” Odpowiedź brzmi 4.

Dodanie 1 do odwrotności liczby eliminuje różnicę między reprezentacjami +0 = 00000000 i -0 = 11111111. W kodzie uzupełnienia do dwóch będą one zapisane tak samo jak 00000000.

Zamiana liczb ułamkowych

Liczby ułamkowe przelicza się w odwrotny sposób, dzieląc liczby całkowite przez podstawę, o czym pisaliśmy na samym początku. Oznacza to użycie mnożenia sekwencyjnego przez nową bazę z kolekcją całych części. Części całkowite uzyskane podczas mnożenia są zbierane, ale nie biorą udziału w kolejnych operacjach. Mnożone są tylko ułamki zwykłe. Jeśli pierwotna liczba jest większa niż 1, wówczas część całkowita i ułamkowa są tłumaczone oddzielnie, a następnie sklejane.

Przekonwertujmy liczbę 0,6752 na system binarny.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Proces można kontynuować długo, aż do uzyskania wszystkich zer w części ułamkowej lub osiągnięcia wymaganej dokładności. Zatrzymajmy się na razie przy szóstym znaku.

Okazuje się, że 0,6752 = 0,101011.

Jeśli liczba wynosiła 5,6752, to w formacie binarnym będzie to 101,101011.

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny jest ważną częścią arytmetyki maszynowej. Rozważmy podstawowe zasady tłumaczenia.

1. Aby zamienić liczbę binarną na dziesiętną, należy zapisać ją w postaci wielomianu składającego się z iloczynu cyfr liczby i odpowiadającej jej potęgi 2 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyka dziesiętna:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg dwójki:

Tabela 4. Potęgi liczby 2

n (stopień)

Przykład.

2. Do tłumaczenia liczba ósemkowa w systemie dziesiętnym należy zapisać go w postaci wielomianu składającego się z iloczynów cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 8 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg ośmiu:

Tabela 5. Potęgi liczby 8

n (stopień)

Przykład. Zamień liczbę na system dziesiętny.

3. Do tłumaczenia liczba szesnastkowa w systemie dziesiętnym należy zapisać go w postaci wielomianu składającego się z iloczynów cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 16 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia jest wygodny w użyciu nalot mocy nr 16:

Tabela 6. Potęgi liczby 16

n (stopień)

Przykład. Zamień liczbę na system dziesiętny.

4. Do tłumaczenia liczba dziesiętna w systemie binarnym należy ją dzielić kolejno przez 2, aż pozostanie mniejsza lub równa 1. Liczbę w systemie binarnym zapisuje się jako ciąg wyniku ostatniego dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład. Zamień liczbę na system binarny.

5. Aby zamienić liczbę dziesiętną na system ósemkowy, należy ją kolejno podzielić przez 8, aż pozostanie mniejsza lub równa 7. Liczbę w systemie ósemkowym zapisuje się jako ciąg cyfr ostatniego wyniku dzielenia i reszta dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład. Zamień liczbę na system ósemkowy.

6. Aby przekonwertować liczbę dziesiętną na system szesnastkowy, należy ją kolejno podzielić przez 16, aż pozostała liczba mniejsza lub równa 15. Liczbę w systemie szesnastkowym zapisuje się jako ciąg cyfr ostatniego wyniku dzielenia i resztę z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład. Konwertuj liczbę na system liczbowy szesnastkowy.