Jak przekonwertować z 16 na binarny. Konwersja liczb na system binarny, szesnastkowy, dziesiętny i ósemkowy

Metody konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny.

Konwersja liczb z jednego systemu liczb pozycyjnych na inny: konwersja liczb całkowitych.

Aby przekonwertować liczbę całkowitą z jednego systemu liczbowego o podstawie d1 na inny o podstawie d2, należy kolejno podzielić tę liczbę i otrzymane ilorazy przez podstawę d2 nowego systemu, aż uzyskany zostanie iloraz mniejszy niż podstawa d2. Ostatni iloraz to najwyższa cyfra liczby w nowy system liczby o podstawie d2, a liczby po niej to reszty z dzielenia, zapisane w kolejności odwrotnej do ich otrzymania. Wykonuj operacje arytmetyczne w systemie liczbowym, w którym zapisana jest tłumaczona liczba.

Przykład 1. Zamień liczbę 11(10) na system binarny Rachunek

Odpowiedź: 11(10)=1011(2).

Przykład 2. Zamień liczbę 122(10) na system ósemkowy.

Odpowiedź: 122(10)=172(8).

Przykład 3. Zamień liczbę 500(10) na system liczbowy szesnastkowy.

Odpowiedź: 500(10)=1F4(16).

Zamiana liczb z jednego systemu liczb pozycyjnych na inny: zamiana ułamków właściwych.

Aby zamienić ułamek właściwy z systemu liczbowego o podstawie d1 na układ o podstawie d2, należy kolejno pomnożyć pierwotny ułamek i części ułamkowe otrzymanych iloczynów przez podstawę nowego systemu liczbowego d2. Prawidłowy ułamek liczby w nowym systemie liczbowym o podstawie d2 tworzy się w postaci części całkowitych powstałych iloczynów, zaczynając od pierwszego.
Jeżeli w wyniku tłumaczenia powstanie ułamek w postaci szeregu nieskończonego lub rozbieżnego, proces można zakończyć po osiągnięciu wymaganej dokładności.

Przy tłumaczeniu liczb mieszanych konieczne jest osobne przetłumaczenie części całkowitej i ułamkowej na nowy system zgodnie z zasadami tłumaczenia liczb całkowitych i ułamków właściwych, a następnie połączenie obu wyników w jedną liczbę mieszaną w nowym systemie liczbowym.

Przykład 1. Zamień liczbę 0,625(10) na system binarny.

Odpowiedź: 0,625(10)=0,101(2).

Przykład 2. Zamień liczbę 0,6(10) na system ósemkowy.

Odpowiedź: 0,6(10)=0,463(8).

Przykład 2. Zamień liczbę 0,7(10) na system szesnastkowy.

Odpowiedź: 0,7(10)=0,B333(16).

Tłumaczenie binarnego, ósemkowego i liczby szesnastkowe do dziesiętnego systemu liczbowego.

Aby przekonwertować liczbę z systemu P-ary na liczbę dziesiętną, należy skorzystać z następującego wzoru na rozwinięcie:
anan-1…а1а0=аnPn+ an-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Przykład 1. Zamień liczbę 101,11(2) na system dziesiętny.

Odpowiedź: 101,11(2)= 5,75(10).

Przykład 2. Zamień liczbę 57,24(8) na system dziesiętny.

Odpowiedź: 57,24(8) = 47,3125(10).

Przykład 3. Zamień liczbę 7A,84(16) na system dziesiętny.

Odpowiedź: 7A.84(16)= 122,515625(10) .

Konwersja liczb ósemkowych i szesnastkowych na system binarny i odwrotnie.

Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na binarny, każdą cyfrę tej liczby należy zapisać jako trzycyfrową liczbę binarną (triadę).

Przykład: wpisz liczbę 16,24(8) w systemie binarnym.

Odpowiedź: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Aby przekonwertować liczbę binarną z powrotem na system ósemkowy, należy podzielić pierwotną liczbę na triady po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego i przedstawić każdą grupę cyfrą w systemie ósemkowym. Skrajne niekompletne triady są uzupełniane zerami.

Przykład: wpisz liczbę 1110.0101(2) w systemie ósemkowym.

Odpowiedź: 1110,0101(2)= 16,24(8) .

Aby przekonwertować liczbę z systemu szesnastkowego na system binarny, należy zapisać każdą cyfrę tej liczby jako czterocyfrową liczbę binarną (tetradę).

Przykład: wpisz liczbę 7A,7E(16) w systemie binarnym.

Odpowiedź: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

Uwaga: zera wiodące po lewej stronie w przypadku liczb całkowitych i po prawej stronie w przypadku ułamków nie są zapisywane.

Aby przekonwertować liczbę binarną z powrotem na system szesnastkowy, należy podzielić pierwotną liczbę na tetrady po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego i przedstawić każdą grupę cyfrą system szesnastkowy Rachunek Skrajne niekompletne triady są uzupełniane zerami.

Przykład: wpisz liczbę 1111010.0111111(2) w systemie szesnastkowym.

Notatka 1

Jeśli chcesz przekonwertować liczbę z jednego systemu liczbowego na inny, wygodniej jest najpierw przekonwertować ją na system dziesiętny, a dopiero potem przekonwertować z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczbowy.

Zasady konwersji liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny

W technologia komputerowa, stosując arytmetykę maszynową, ważną rolę odgrywa konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny. Poniżej podajemy podstawowe zasady takich przekształceń (tłumaczeń).

Konwertując liczbę binarną na dziesiętną, musisz przedstawić Liczba binarna w postaci wielomianu, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w w tym przypadku$2$, a następnie musisz obliczyć wielomian, korzystając z zasad arytmetyki dziesiętnej:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Rysunek 1. Tabela 1

Przykład 1

Konwertuj liczbę $11110101_2$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $1$ podstawy $2$, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Aby przekonwertować liczbę z systemu ósemkowego na dziesiętny, należy ją przedstawić w postaci wielomianu, którego każdy element jest przedstawiany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku przypadek $8$, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Rysunek 2. Tabela 2

Przykład 2

Zamień liczbę $75013_8$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $2$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Aby przekonwertować liczbę z postaci szesnastkowej na dziesiętną, należy przedstawić ją jako wielomian, którego każdy element jest reprezentowany jako iloczyn cyfry liczby i odpowiedniej potęgi liczby podstawowej, w tym przypadku 16 $, a następnie musisz obliczyć wielomian zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Rysunek 3. Tabela 3

Przykład 3

Konwertuj liczbę $FFA2_(16)$ na system dziesiętny.

Rozwiązanie. Korzystając z podanej tabeli potęg $3$ podstawy $8, przedstawiamy liczbę jako wielomian:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Zasady konwersji liczb z systemu dziesiętnego na inny

Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system binarny, należy ją kolejno podzielić przez 2 $, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 1 $. Liczbę w systemie binarnym przedstawia się jako ciąg ostatniego wyniku dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład 4

Konwertuj liczbę $22_(10)$ na system liczb binarnych.

Rozwiązanie:

Rysunek 4.

$22_{10} = 10110_2$

Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na ósemkowy, należy ją kolejno podzielić przez 8 USD, aż pozostała część będzie mniejsza lub równa 7 USD. Liczbę w systemie ósemkowym przedstawia się jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład 5

Zamień liczbę $571_(10)$ na system liczb ósemkowych.

Rozwiązanie:

Rysunek 5.

$571_{10} = 1073_8$

Aby przekonwertować liczbę z systemu dziesiętnego na system szesnastkowy, należy ją sukcesywnie dzielić przez 16 $, aż pozostanie mniejsza lub równa 15 $. Liczba w systemie szesnastkowym jest reprezentowana jako ciąg cyfr wyniku ostatniego dzielenia i reszty dzielenia w odwrotnej kolejności.

Przykład 6

Konwertuj liczbę $7467_(10)$ na system liczbowy szesnastkowy.

Rozwiązanie:

Rysunek 6.

7467 $_(10) = 1D2B_(16)$

Aby zamienić ułamek właściwy z dziesiętnego systemu liczbowego na niedziesiętny system liczbowy, należy kolejno pomnożyć część ułamkową konwertowanej liczby przez podstawę systemu, na który ma zostać przeliczona. Ułamki w nowym systemie będą reprezentowane jako całe części produktów, zaczynając od pierwszej.

Na przykład: $0,3125_((10))$ w systemie liczb ósemkowych będzie wyglądać jak $0,24_((8))$.

W takim przypadku możesz napotkać problem, gdy skończony ułamek dziesiętny może odpowiadać ułamkowi nieskończonemu (okresowemu) w system dziesiętny Rachunek W takim przypadku liczba cyfr ułamka reprezentowanego w nowym systemie będzie zależała od wymaganej dokładności. Należy również zauważyć, że liczby całkowite pozostają liczbami całkowitymi, a ułamki właściwe pozostają ułamkami w dowolnym systemie liczbowym.

Zasady konwersji liczb z systemu binarnego na inny

Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na ósemkowy, należy ją podzielić na triady (potrójne cyfry), zaczynając od najmniej znaczącej cyfry, w razie potrzeby dodając zera do wiodącej triady, a następnie zastąpić każdą triadę odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.

Rysunek 7. Tabela 4

Przykład 7

Konwertuj liczbę $1001011_2$ na system liczb ósemkowych.

Rozwiązanie. Korzystając z Tabeli 4, konwertujemy liczbę z systemu binarnego na ósemkowy:

$001 001 011_2 = 113_8$

Aby przekonwertować liczbę z systemu binarnego na szesnastkowy, należy ją podzielić na tetrady (cztery cyfry), zaczynając od cyfry najmniej znaczącej, w razie potrzeby dodając zera do tetrady najbardziej znaczącej, następnie każdą tetradę zastępując odpowiednią cyfrą ósemkową zgodnie z tabelą 4.

Kalkulator umożliwia konwersję liczb całkowitych i ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny. Podstawa systemu liczbowego nie może być mniejsza niż 2 i większa niż 36 (w końcu 10 cyfr i 26 liter łacińskich). Długość cyfr nie może przekraczać 30 znaków. Aby wejść liczby ułamkowe użyj symbolu. Lub, . Aby przekonwertować liczbę z jednego systemu na inny, wpisz pierwotną liczbę w pierwszym polu, radix oryginalny system liczbę na drugie i podstawę systemu liczbowego, na który chcesz przeliczyć liczbę na trzecie pole, a następnie kliknij przycisk „Pobierz rekord”.

Numer oryginalny zapisane w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.

Chcę zapisać numer 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.

Uzyskaj wpis

Ukończono tłumaczenia: 1363703

Systemy liczbowe

Systemy liczbowe dzielą się na dwa typy: pozycyjny I nie pozycyjny. Używamy systemu arabskiego, jest on pozycyjny, ale jest też system rzymski – nie jest pozycyjny. W systemy pozycyjne Pozycja cyfry w liczbie jednoznacznie określa wartość tej liczby. Łatwo to zrozumieć, patrząc na przykład na jakąś liczbę.

Przykład 1. Weźmy liczbę 5921 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:

Liczbę 5921 można zapisać w następującej postaci: 5921 = 5000+900+20+1 = 5,10 3 +9,10 2 +2,10 1 +1,10 0 . Liczba 10 jest cechą definiującą system liczbowy. Wartości położenia danej liczby przyjmowane są jako potęgi.

Przykład 2. Rozważ rzeczywistość liczba dziesiętna 1234.567. Policzmy to zaczynając od pozycja zerowa liczby od przecinka dziesiętnego w lewo i w prawo:

Liczbę 1234,567 można zapisać w następującej postaci: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1,10 3 +2,10 2 +3,10 1 +4,10 0 +5,10 -1 + 6,10 -2 +7,10 -3 .

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Bardzo w prosty sposób konwersja liczby z jednego systemu liczbowego na inny polega na najpierw przekształceniu liczby na system dziesiętny, a następnie otrzymanego wyniku na wymagany system liczbowy.

Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny

Aby zamienić liczbę z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny, wystarczy ponumerować jej cyfry, zaczynając od zera (cyfry po lewej stronie przecinka) analogicznie jak w przykładach 1 lub 2. Znajdźmy sumę iloczynów cyfr liczby przez podstawę systemu liczbowego do potęgi pozycji tej cyfry:

1. Konwertuj liczbę 1001101.1101 2 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odpowiedź: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konwertuj liczbę E8F.2D 16 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: E8F.2D 16 = 14,16 2 +8,16 1 +15,16 0 +2,16 -1 +13,16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Odpowiedź: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy

Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy, należy osobno przekonwertować część całkowitą i ułamkową liczby.

Konwersja części całkowitej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy

Część całkowitą przekształca się z dziesiętnego systemu liczbowego na inny system liczbowy poprzez kolejne dzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego, aż do uzyskania reszty całkowitej mniejszej niż podstawa systemu liczbowego. Rezultatem tłumaczenia będzie zapis reszty, zaczynając od ostatniego.

3. Konwertuj liczbę 273 10 na system liczb ósemkowych.
Rozwiązanie: 273 / 8 = 34 i reszta 1,34 / 8 = 4 i reszta 2,4 jest mniejsza niż 8, więc obliczenia są zakończone. Zapis z sald będzie wyglądał następująco: 421
Badanie: 4,8 2 +2,8 1 +1,8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, wynik jest taki sam. Oznacza to, że tłumaczenie zostało wykonane poprawnie.
Odpowiedź: 273 10 = 421 8

Rozważmy tłumaczenie zwykłych ułamków dziesiętnych na różne systemy liczbowe.

Konwersja części ułamkowej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy

Przypomnijmy, że nazywa się to ułamkiem dziesiętnym właściwym liczba rzeczywista z zerową częścią całkowitą. Aby przekonwertować taką liczbę na system liczbowy o podstawie N, należy kolejno pomnożyć liczbę przez N, aż frakcja nie zostanie zresetowany lub wymagana liczba cyfr nie zostanie odebrana. Jeżeli podczas mnożenia zostanie uzyskana liczba z częścią całkowitą inną niż zero, część całkowita nie jest dalej brana pod uwagę, ponieważ jest sekwencyjnie wprowadzana do wyniku.

4. Konwertuj liczbę 0,125 · 10 na system liczb binarnych.
Rozwiązanie: 0,125,2 = 0,25 (0 to część całkowita, która stanie się pierwszą cyfrą wyniku), 0,25,2 = 0,5 (0 to druga cyfra wyniku), 0,5,2 = 1,0 (1 to trzecia cyfra wyniku, a ponieważ część ułamkowa wynosi zero, to tłumaczenie jest zakończone).
Odpowiedź: 0.125 10 = 0.001 2

Czy są jakieś trudności lub nieporozumienia przy konwersji liczb z postaci binarnej na szesnastkową? Zapisz się do mnie na indywidualne lekcje z informatyki i ICT. Na naszych prywatnych lekcjach wraz z moimi uczniami analizujemy nie tylko część teoretyczną, ale także rozwiązujemy ogromną liczbę różnorodnych ćwiczeń tematycznych.

Musisz wiedzieć, co to jest system liczb binarnych lub binarnych

Zanim pomyślisz o tym, jak przekonwertować liczbę od 2 do 16, musisz dobrze zrozumieć, jakie liczby znajdują się w systemie liczb binarnych. Przypomnę, że alfabet systemu liczb binarnych składa się z dwóch ważnych elementów - 0 I 1 . Oznacza to, że absolutnie dowolna liczba wpisana dwójkowy, będzie składać się ze zbioru zer i jedynek. Oto przykłady liczb zapisanych w postaci binarnej: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Musisz wiedzieć, co to jest szesnastkowy system liczbowy

Rozpracowaliśmy system binarny, zapamiętaliśmy podstawowe punkty, teraz porozmawiajmy o systemie szesnastkowym. Alfabet szesnastkowego systemu liczbowego składa się z szesnastu różnych znaków: 10 cyfr arabskich (od 0 do 9) i 6 pierwszych wielkich liter łacińskich (od „A” do „F”). Oznacza to, że absolutnie każda liczba zapisana w systemie szesnastkowym będzie składać się ze znaków z powyższego alfabetu. Oto przykłady liczb zapisanych w notacji szesnastkowej:

810A

FCDF

198303

100FFF0

Porozmawiajmy o algorytmie konwersji liczby z 2 na system liczb szesnastkowych

Będziemy potrzebować obowiązkowy rozważ tabelę kodowania Tetrad. Bez korzystania z tej tabeli dość trudno będzie szybko przekonwertować liczby z systemu 2 na 16.

Celem tabeli kodowania Tetrad jest jednoznaczne dopasowanie symboli systemu liczb binarnych i systemu liczb szesnastkowych.

Tabela Tetrad ma następującą strukturę:

Stół Tetradowy
0000 - 0	0001 - 1	0010 - 2	0011 - 3	0100 - 4	0101 - 5	0110 - 6	0111 - 7
1000 - 8	1001 - 9	1010 - A	1011 - B	1100 - C	1101 - D	1110 - mi	1111 - F

Załóżmy, że musimy przekonwertować liczbę 101011111001010 2 na liczbę szesnastkową. Przede wszystkim potrzebujesz oryginału kod binarny podzielone na grupy po cztery kategorie i, co bardzo ważne, podział musi koniecznie rozpocząć się od prawej do lewej.

101 . 0111 . 1100 . 1010

Po podziale otrzymaliśmy cztery grupy: 101, 0111, 1100 i 1010. Na szczególną uwagę zasługuje segment skrajnie lewy, czyli segment 101. Jak widać jego długość wynosi 3 cyfry i konieczne jest, aby jego długość była równa cztery, dlatego dodamy ten segment wiodące zero:

101 -> 0 101.

Powiedz mi, na jakiej podstawie dodajemy jakieś 0 po lewej stronie liczby? Rzecz w tym, że dodanie nieistotnych zer nie ma żadnego wpływu na wartość pierwotnej liczby. Dlatego mamy wszelkie prawo dodaj nie tylko jedno zero po lewej stronie liczby binarnej, ale w zasadzie dowolną liczbę zer i uzyskaj liczbę o wymaganej długości.

NA Ostatni etap transformacji konieczne jest przekształcenie każdej z powstałych grup binarnych na odpowiednią wartość zgodnie z tabelą kodowania Tetrad.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> C

1010 -> A

101011111001010 2 = 57CA 16

A teraz sugeruję zapoznanie się z rozwiązaniem multimedialnym, które pokazuje, w jaki sposób jest on konwertowany ze stanu binarnego na stan szesnastkowy:

Krótkie wnioski

W tym krótkim artykule poruszyliśmy temat „ Systemy liczbowe: jak konwertować z 2 na 16" W przypadku pytań lub nieporozumień proszę dzwonić i zapisywać się na moje lekcje indywidualne z informatyki i programowania. Zaproponuję Ci rozwiązanie dziesiątek podobnych ćwiczeń i nie pozostanie Ci ani jedno pytanie. Ogólnie rzecz biorąc, systemy liczbowe są niezwykle ważnym tematem, który stanowi podstawę wykorzystywaną w całym kursie.

Cele Lekcji:

powtórz przestudiowany materiał na temat systemu liczbowego;
naucz się konwertować liczbę z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczb pozycyjnych i odwrotnie;
opanować zasady konwersji liczb z jednego systemu na drugi;
rozwijać logiczne myślenie.

Podczas zajęć

Na początku lekcji krótki przegląd i sprawdzenie pracy domowej.

W jakiej formie informacje liczbowe są prezentowane w pamięci komputera?

Do czego służą systemy liczbowe?

Jakie znasz rodzaje systemów liczbowych? Podaj własne przykłady.

Czym systemy pozycyjne różnią się od systemów niepozycyjnych?

Celem naszej lekcji jest nauczenie się, jak konwertować liczbę z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczb pozycyjnych i odwrotnie. Ale najpierw przyjrzymy się, jak możesz

reprezentują dowolną nieujemną liczbę całkowitą:

W systemach pozycyjnych wartość zapisu liczby całkowitej określa następująca reguła: niech a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 będzie zapisem liczby A, a i są cyframi, wówczas

gdzie p jest liczbą całkowitą większą niż 1, co nazywa się podstawą systemu liczbowego

Aby dla danego p można było zapisać dowolną nieujemną liczbę całkowitą według wzoru (1) i co więcej, w sposób unikalny wartości liczbowe różne liczby muszą być różnymi liczbami całkowitymi należącymi do przedziału od 0 do p-1.

1) System dziesiętny

liczby: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

liczba 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) System trójskładnikowy

liczby: 0,1,2

liczba 201 3 = 2,3 2 +0,3 1 +1,3 0

Uwaga: indeks dolny w liczbie wskazuje podstawę systemu liczbowego, w którym liczba jest zapisana. W przypadku systemu dziesiętnego indeksu nie trzeba zapisywać.

Reprezentacja liczb ujemnych i ułamkowych:

We wszystkich systemach rejestracji położenia liczby ujemne Podobnie jak w systemie dziesiętnym używany jest znak „–”. Przecinek służy do oddzielania części całkowitej liczby od części ułamkowej. Wartość wpisu an n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m liczby A wyznacza wzór będący uogólnieniem Formuła 1):

75,6 = 7,10 1 +5,10 0 +6,10 –1

–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny:

Należy rozumieć, że przy tłumaczeniu liczby z jednego systemu liczbowego na inny wartość ilościowa liczby nie zmienia się, zmienia się jedynie forma zapisu liczby, tak jak przy tłumaczeniu nazwy liczby, na przykład z Rosyjski na angielski.

Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny odbywa się poprzez bezpośrednie obliczenia przy użyciu wzoru (1) dla liczb całkowitych i wzoru (2) dla ułamków.

Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na dowolny system liczbowy.

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na system o podstawie p polega na znalezieniu współczynników ze wzoru (2). Czasami łatwo to zrobić prosty wybór. Załóżmy na przykład, że musisz przekonwertować liczbę 23,5 na system ósemkowy. Łatwo zauważyć, że 23,5 = 16+7+0,5 = 2,8+7+4/8 = 2,8 1 +7,8 0 +4,8 –1 =27,48. Wiadomo, że odpowiedź nie zawsze jest taka oczywista. Ogólnie rzecz biorąc, stosuje się metodę osobnego przeliczania części całkowitej i ułamkowej liczby.

Do konwersji liczb całkowitych stosuje się następujący algorytm (uzyskany na podstawie wzoru (1)):

1. Znajdź iloraz i resztę przy dzieleniu liczby przez p. Reszta będzie następną cyfrą ai (j=0,1,2...) liczby w nowym systemie liczbowym.

2. Jeżeli iloraz jest równy zero, to tłumaczenie liczby jest zakończone, w przeciwnym razie do ilorazu stosujemy punkt 1.

Uwaga 1. Cyfry ai w zapisie liczbowym numerowane są od prawej do lewej.

Uwaga 2. Jeżeli p>10, to konieczne jest wprowadzenie zapisu dla liczb o wartościach liczbowych większych lub równych 10.

Zamień liczbę 165 na system liczbowy z przegrodą.

165:7 = 23 (reszta 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (reszta 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (reszta 3) => a 2 = 3

Zapiszmy wynik: a 2 a 1 a 0 , tj. 3247.

Po sprawdzeniu za pomocą wzoru (1) upewnimy się, że tłumaczenie jest poprawne:

3247=3,7 2 +2,7 1 +4,7 0 =3,49+2,7+4 = 147+14+4 = 165.

Do przeliczenia części ułamkowych liczb stosuje się algorytm otrzymany na podstawie wzoru (2):

1. Pomnóż część ułamkową liczby przez p.

2. Częścią całkowitą wyniku będzie kolejna cyfra am (m = –1, –2, –3…) zapisu liczby w nowym systemie liczbowym. Jeżeli część ułamkowa wyniku wynosi zero, wówczas tłumaczenie liczby jest zakończone, w przeciwnym razie stosujemy do niej krok 1.

Uwaga 1. Cyfry a m w zapisie liczbowym są ułożone od lewej do prawej w kolejności rosnącej wartości bezwzględnej m.

Uwaga 2. Zwykle liczba cyfr ułamkowych nowe wejście liczba jest z góry ograniczona. Pozwala to na wykonanie przybliżonego tłumaczenia z zadaną dokładnością. W przypadku ułamków nieskończonych takie ograniczenie zapewnia skończoność algorytmu.

Zamień liczbę 0,625 na system binarny.

0,625 2 = 1,25 (część całkowita 1) => a -1 =1

0,25 2 = 0,5 (część całkowita 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (część całkowita 1) => a- 3 = 1

Zatem 0,62510 = 0,1012

Po sprawdzeniu za pomocą wzoru (2) upewnimy się, że tłumaczenie jest poprawne:

0,1012=1,2 -1 +0,2- 2 +1,2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Konwertuj liczbę 0,165 na czwartorzędowy system liczbowy, ograniczając ją do czterech czwartorzędowych cyfr.

0,165 4 = 0,66 (część całkowita 0) => a -1 =0

0,66 4 = 2,64 (część całkowita 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (część całkowita 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (część całkowita 2) => a -4 = 2

Zatem 0,16510" 0,02224

Zróbmy to tłumaczenie odwrotne aby upewnić się, że błąd bezwzględny nie przekracza 4–4:

0,02224 = 0,4 -1 +2,4 -2 +2,4 -3 +2,4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Konwersja liczb z jednego dowolnego systemu na inny

W takim przypadku należy najpierw przekonwertować liczbę na system dziesiętny, a następnie z systemu dziesiętnego na wymagany.

Do konwersji liczb w przypadku systemów o wielu podstawach stosuje się specjalną metodę.

Niech p i q będą podstawami dwóch systemów liczbowych. Będziemy nazywać te systemy systemami liczbowymi o wielu podstawach, jeśli p = qn lub q = pn, gdzie n jest liczbą naturalną. Na przykład systemy liczbowe o podstawach 2 i 8 są systemami wielokrotnymi.

Niech p = qn i musisz przekonwertować liczbę z systemu liczbowego o podstawie q na system liczbowy o podstawie p. Podzielmy część całkowitą i ułamkową liczby na grupy składające się z n kolejno zapisanych cyfr po lewej i prawej stronie przecinka dziesiętnego. Jeśli liczba cyfr w części całkowitej liczby nie jest wielokrotnością n, należy dodać odpowiednią liczbę zer po lewej stronie. Jeżeli liczba cyfr w części ułamkowej liczby nie jest wielokrotnością n, wówczas po prawej stronie dodawane są zera. Każda taka grupa cyfr jest liczbą w stary system numer będzie odpowiadał jednej cyfrze liczby w nowym systemie numeracyjnym.

Przekonwertujmy 1100001.111 2 na czwartorzędowy system liczbowy.

Dodając zera i wybierając pary liczb, otrzymamy 01100001.11102.

Przetłumaczmy teraz każdą parę cyfr osobno, korzystając z sekcji Tłumaczenie liczb z jednego dowolnego systemu na inny.

Zatem 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

Załóżmy teraz, że musimy przejść z układu o większej podstawie q do układu o mniejszej podstawie p, tj. q = przyp. W tym przypadku jedna cyfra liczby w starym systemie liczbowym odpowiada n cyfrom liczby w nowym systemie liczbowym.

Przykład: Sprawdźmy poprzednie tłumaczenie liczby.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

W systemie szesnastkowym występują liczby o wartościach liczbowych 10,11,12, 13,14,15. Aby je oznaczyć, użyj pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego A, B, C, D, E, F.

Oto tabela liczb od 0 do 16 zapisanych w systemach liczbowych o podstawach 10, 2, 8 i 16.

Liczba w systemie dziesiętnym	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
W ósemce	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
W formacie binarnym	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
W systemie szesnastkowym	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	mi	F	10

Do zapisu cyfr szesnastkowych można także używać małych liter. listy a-f.

Przykład: Przekonwertujmy liczbę 110101001010101010100.11 2 na system liczb szesnastkowych.

Skorzystajmy z krotności podstaw systemów liczbowych (16=2 4). Pogrupujmy liczby po cztery, dodając wymaganą liczbę zer po lewej i prawej stronie

000110101001010101010100,1100 2

i sprawdzając tabelę, otrzymujemy: 1A9554,C 16

Wniosek:

To, w jakim systemie liczbowym najlepiej zapisywać liczby, jest kwestią wygody i tradycji. Z technicznego punktu widzenia wygodne jest stosowanie w komputerze systemu binarnego, ponieważ do zapisania liczby wykorzystuje się tylko dwie cyfry 0 i 1, co można przedstawić za pomocą dwóch łatwo rozróżnialnych stanów „brak sygnału” i „jest sygnał”. sygnał."

Wręcz przeciwnie, niewygodne jest dla człowieka zajmowanie się binarnymi zapisami liczb, ponieważ są one dłuższe niż dziesiętne i zawiera wiele powtarzających się cyfr. Dlatego jeśli to konieczne, pracuj z maszynowymi reprezentacjami liczb, używaj systemów liczbowych ósemkowych lub szesnastkowych. Podstawą tych systemów są liczby całkowite potęgi dwójki, dlatego liczby z tych systemów można łatwo przekształcić na binarne i odwrotnie.

Zapisz zadanie domowe:

a) Zapisz daty urodzenia wszystkich członków swojej rodziny w różne systemy Rachunek

b) Przekonwertuj liczby z postaci binarnej na ósemkową i szesnastkową, a następnie sprawdź wyniki, wykonując konwersję odwrotną:

a) 1001111110111.011 2;