Определение 1. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, или

Определение 2. Две матрицы
и
одного размера называютсяравными , если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.

Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.

Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.

Виды матриц: квадратная (размера 33) -
,

прямоугольная (размера 25) -
,

диагональная -
, единичная -
, нулевая -
,

матрица-строка -
, матрица-столбец -.

Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
.

Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .

1.2. Операции над матрицами.

1 0 . Суммой двух матриц
и
одинакового размера называется матрица С = (с ij), элементы которой определяются равенством с ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).

2 0 . Произведением матрицы
на число  называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

(А) = ()А (ассоциативность умножения);

(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение видаА+В, где  и  - произвольные числа.

3 0 . Произведением А  В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

АВ  ВА (не коммутативность).

Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

Перемена местами двух строк (столбцов).

Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

,
.

,
,

.

Пример 1.2. Найти произведение матриц
, если

.

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу
, где

В результате получим
.

Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.

Действия над матрицой

1. Сложение и вычитание матриц :

Сложение и вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо сложить или отнять соответствующие элементы двух матриц. Главное помнить, что складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров , т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Например, пусть даны две матрицы равного размера 2х3, т.е. с двумя строками и тремя столбцами:

Сумма двух матриц:

Разность двух матриц:

2. Умножение матрицы на число:

Умножение матрицы на число - процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.

Например, пусть дана матрица А:

Умножим число 3 на матрицу А:

3. Умножение двух матриц:

Умножение двух матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй. Новая матрица, которая получится при умножении матриц, будет состоять из количества строк, равное количеству столбцов первой матрицы и количества столбцов, равное количеству строк второй матрицы.

Предположим есть две матрицы размерами 3х4 и 4х2, т.е. в первой матрице 3 строки и 4 столбца, а во второй матрице 4 строки и 2 столбца. Т.к. количество столбцов первой матрицы (4), равно количеству строк второй матрицы (4), то матрицы можно перемножить, новая матрица будет иметь размер: 3х2, т.е. 3 строки и 2 столбца.

Можно представить все это в виде схемы:

После того как Вы определились с размером новой матрицы, которая получится при умножении двух матриц, можно приступить к заполнению этой матрицы элементами. Если Вам надо заполнить первую строчку первого столбца этой матрицы, то надо каждый элемент первой строки первой матрицы умножать на каждый элемент первого столбца второй матрицы, если будем заполнять вторую строку первого столбца соответственно будем брать каждый элемент второй строки первой матрицы и умножать на первый столбец второй матрицы и т.д.

Посмотрим как это выглядит на схеме:

Посмотрим как это выглядит на примере:

Даны две матрицы:

Найдем произведение этих матриц:

4. Деление матриц :

Деление матриц - действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней:

Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В:

В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А.

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица - такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, - единицы, а остальные - нули, например:

Обратная матрица может существоватьтолько для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Определители матриц (Детерминанты) Определители матриц (Детерминанты)

Определители матриц, способ № 1:

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

Где М 1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, чтоопределители имеют только квадратные матрицы , т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:

Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцуматрицы , т.е. справедлива формула:

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители . Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М 1k называется дополнительным минором элемента матрицы a 1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах .

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a ij равенопределителю матрицы , полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определители матриц, способ № 2:

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а 11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Замечание:

Вычисление определителей матриц четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как:

для первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя;

для нахождения определителя матрицы второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей;

для нахождения определителя матрицы третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей;

для нахождения определителя матрицы четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы , в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...

Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица...". Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца - имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы - выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки - годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки - средняя себестоимость того или иного вида продукции:

Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей ) и записывается так:

(1)

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, n ).

Матрица называется прямоугольной , если .

Если же m = n , то матрица называется квадратной , а число n – её порядком .

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A |.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.

Матрицы называются равными , если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой , если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Например,

Матрицей-строкой (или строчной ) называется 1n -матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой ) – m 1-матрица.

Матрица A " , которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A . Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A " , транспонированной относительно матрицы A , называется транспонированием матрицы A . Для mn -матрицы транспонированной является nm -матрица.

Транспонированной относительно матрицы является матрица A , то есть

(A ")" = A .

Пример 1. Найти матрицу A " , транспонированную относительно матрицы

и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной . Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Пример 2. Даны матрицы:

Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

Определитель матрицы B вычислим по формуле

Легко получаем, что

Следовательно, матрицы A и – неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B – особенная (вырожденная, сингулярная).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Даны матрицы

,

,

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

Объём продукции i -й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через и называется полным выпуском i -й отрасли. Выпуски удобно разместить в n -компонентную строку матрицы.

Количество единиц продукции i -й отрасли, которое необходимо затратить j -й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается и называется коэффициентом прямых затрат.

Матрицей размерности называется таблица чисел , содержащая строк и столбцов. Числа называются элементами этой матрицы, где – номер строки, – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая строк и столбцов, имеет вид: .

Виды матриц:

1) при – квадратная , причем называют порядком матрицы ;

2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю

– диагональная ;

3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице – единичная и обозначается ;

4) при – прямоугольная ;

5) при – матрица-строка (вектор-строка);

6) при – матрица-столбец (вектор-столбец);

7) при всех – нулевая матрица.

Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице -го порядка, также имеет -ый порядок.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число .

Определителем матрицы 2-го порядка называется число . (1.1)

Определителем матрицы 3-го порядка называется число . (1.2)

Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения.

Минором М ij элемента а ij матрицы n- гопорядка А называется определитель матрицы (n-1)- гопорядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы n - гопорядка А называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков и упрощающие их вычисление.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что – разложение определителя по элементам 1-ой строки. Заметим, что для разложения выбирают ту строку (столбец), где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении обращаются в ноль.

Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется квадратной? Что понимается под ее порядком?

3. Какая матрица называется диагональной, единичной?

4. Какая матрица называется матрицей-строкой и матрицей-столбцом?

5. Что является основной числовой характеристикой квадратной матрицы?

6. Какое число называется определителем 1-го, 2-го и 3-го порядка?

7. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы?

8. Каковы основные свойства определителей?

9. С помощью какого свойства можно вычислить определитель любого порядка?

Действия над матрицами (схема 2)

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки;

2) умножение матрицы на число производится поэлементно, то есть , где , ;

3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными , если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц и называется такая результирующая матрица , что , (1.4)

где , . Отсюда следует, что элемент -ой строки и -го столбца матрицы равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы .

Произведение матриц не коммутативно, то есть А . В В . А. Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную А . Е = Е . А.

Пример 1.1. Перемножить матрицы A и B, если:

.

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы ), то воспользуемся формулой (1.4):

Вопросы для самопроверки.

1. Какие действия осуществляются над матрицами?

2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?

3. Что называется произведением двух матриц?

Метод Крамера решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (схема 3)

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной , если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной , если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную квадратную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую следующий общий вид:

. (1.5) Главной матрицей системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных: .

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается .

Вспомогательный определитель получается из главного определителя путем замены -го столбца на столбец свободных членов.

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель квадратной системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель , то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей)

В свете приведенных выше определений теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.2. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6): , ,

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется решением системы уравнений?

2. Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

3. Какая система уравнений называется определенной, неопределенной?

4. Какая матрица системы уравнений называется главной?

5. Как вычислить вспомогательные определители системы линейных алгебраических уравнений?

6. В чем состоит суть метода Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений?

7. Какой может быть система линейных алгебраических уравнений, если ее главный определитель равен нулю?

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы (схема 4)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной ; имеющая определитель равный нулю – вырожденной .

Матрица называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть . (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц и коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Если главная матрица невырожденная, то есть определитель 0, то для нее можно найти обратную матрицу по следующему алгоритму.

1. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

2. Выписать найденные алгебраические дополнения в матрицу транспонированно.

3. Составить обратную матрицу по формуле: (1.8)

4. Сделать проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: , где – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получим:

Так как по определению обратной матрицы , то уравнение принимает вид или . (1.9)

Таким образом, чтобы решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.3. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения транспонированно в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?

2. Какая матрица называется обратной для заданной? Каково условие ее существования?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы для заданной?

4. Какому матричному уравнению эквивалентна система линейных алгебраических уравнений?

5. Как решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы для главной матрицы системы?

Исследование неоднородных систем линейных алгебраических уравнений (схема 5)

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса. Пусть размерность главной матрицы системы равна .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна .

Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях , к которым относятся:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, т. е.

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через (соответственно, в системе остается уравнений). Эти строки матрицы называются базисными .

Если , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить методом Крамера, с помощью обратной матрицы или универсальным методом Гаусса.

Если (количество переменных в системе больше чем уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы неизвестных (базисные переменные ), остальные неизвестных перенести в правые части (свободные переменные ). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

. (1.10)

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор ), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных заменить на свободную; полученный базисный минор проверить на отличность от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением .

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из элементов по элементов . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, базисных решений у системы также.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю. Это означает, что ранг ее главной матрицы меньше числа неизвестных . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.4.

Исследовать заданную систему и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

. Так как и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных , т. е. , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно

. Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: . Рассмотрим один из них . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде

. Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы. Вспомогательные определители

По формулам (1.6) имеем

. Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных . При получаем базисное решение системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая система уравнений называется однородной, неоднородной?

2. Какая матрица называется расширенной?

3. Перечислите основные элементарные преобразования матриц. Какой метод решения систем линейных уравнений основан на этих преобразованиях?

4. Что называется рангом матрицы? Каким способом можно его вычислить?

5. О чем говорит теорема Кронекера-Капелли?

6. К какому виду может быть приведена система линейных алгебраических уравнений в результате ее решения методом Гаусса? Что это означает?

7. Какие строки матрицы называются базисными?

8. Какие переменные системы называются базисными, какие свободными?

9. Какое решение неоднородной системы называется частным?

10.Какое ее решение называется базисным? Сколько базисных решений имеет неоднородная система линейных уравнений?

11.Какое решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений называется общим? Сформулируйте теорему об общем решении неоднородной системы уравнений.

12. Каковы основные свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений?

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )