КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .

Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

Либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:

Как двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение : так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Пример 2

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ : полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.

Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 4

И изобразить её на чертеже

Решение : легко понять, что такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .

Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство , таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ : внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность :

На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над плоскостью (ближний и дальний от нас октанты) , местами – под плоскостью (левый и правый относительно нас октанты) . Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения . Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет») , о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .

Идём на повышение:

Пример 6

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:

Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.

Ответ : область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Пример 7

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Пример 8

Найти область определения функции

Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь правый «уголок» не является решением системы .

Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Пример 9

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Пример 10

Найти область определения функции

Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду . В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:

мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…

Ответ :

Следующий логарифм ваш:

Пример 11

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Пример 12

Найти область определения функции

Решение : аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств :

Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:

Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ : область определения представляет собой решение системы

Пример 13

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 14

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :

– окружность с центром в точке радиуса 3 .

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:

Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты . Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

Инструкция

При построении линий уровня исходите из того, что они являются проекциями на плоскость с нулевой аппликатой линий пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью. Аппликата этой плоскости сечения и является константой, к которой нужно приравнять уравнение функции, чтобы получить координаты точек линии. Она может меняется с заданным в условиях задачи шагом, если построить требуется набор линий. А если построить нужно всего одну линию уровней, в условиях могут быть даны координаты точки лежащей на ней. Графики с этой страницы можно сохранить или отредактировать в интерактивном режиме.

Приведите заданную в условиях задачи функцию к виду f(x,y) = const. Например, если дана z = x² + y² - 4*y, ее можно записать в альтернативной форме, чтобы лучше представить форму графика функции, и приравнять к константе c: c+4 = x²+(y-2)². Объемный график такой функции представляет собой бесконечный , а все его сечения горизонтальной плоскостью, поднятой на разные , (т.е. искомые линии уровней) будут концентрическими кругами с радиусом, определяемым по формуле √(c+4).

Подставьте вместо константы c заданное в условиях значение для линии уровня. Если оно не дано - выберите сами, исходя из области значений функции. Например, для приведенного выше примера минимальным значением константы может быть число -4. Константу можно приравнять к 5 и в этом случае графиком функции будет круг с радиусом √(5+4) = 3 и центром в точке с абсциссой, равной 0 и ординатой, равной 2.

Если нужно построить несколько линий уровней, повторите предыдущий шаг нужное число раз.

В интернете можно найти сервисы, которые помогут с построением линий уровней. Например, ниже приведена ссылка на сервис WolframAlpha. В поле ввода на его странице введите формулу функции и щелкните по кнопке со значком равенства. Использованную в примере функцию z = x² + y² - 4*y надо вводить в таком виде: x^2+y^2-4*y. Через несколько секунд на странице появятся двух- и трехмерные цветные графики с линиями уровней, а также фигуры, описываемой формулой, альтернативные формы ее записи и другие функции, которые можно использовать при построении линий уровней.

Источники:

• Сервис WolframAlpha

Не каждому хочется быть семейным деспотом, но даже самые робкие и самодостаточные люди нуждаются в том, чтобы к их мнению хотя бы прислушивались. Как правильно выстроить линии влияния ? Влиять можно только на того, кто в чем-либо нуждается, поэтому рассмотрим, как использовать потребности партнера для получения от него желаемого, используя пирамиду Маслоу.

Инструкция

В основе сферы потребностей человека лежат потребности , это в первую очередь жажда, голод и половое влечение. Партнеров дрессируют как собаку Павлова при использовании всех методов, но этот метод наименее тонкий. Так, некоторые жены в молодости лишают мужа близких отношений за малейшую провинность, то же делают мужья в более по отношению к , которые не угодили. Однако гораздо эффективнее использовать этот метод положительно, то есть в ответ на уступки дарить любимому пьянящую, феерическую близость.

Выше в иерархии стоит потребность в безопасности. Каждый человек хочет жить комфортно, со стабильным укладом жизни, ничего не опасаясь. Когда обиженная жена вдруг отказывается готовить для мужа, она неосознанно ломает его бытовые привычки, причиняя боль. Это не всегда разумная политика, в негативных ситуациях лучше вести себя нейтрально, а малейшие позитивные изменения вознаграждать любимым блюдом мужа или тем, с которым у вас связаны романтические ассоциации.

Следующие два уровня рассмотрим вместе, потому что они близки по смыслу – это потребности в уважении и любви. Оскорбления больно ранят, а известный вопрос «Ты меня ?» с последующими попытками манипулировать изрядно портят кровь и мужчинам, и женщинам. А ведь на этом уровне многие люди очень зависимы и уязвимы. Поощрение правильного поведения достигается путем искренних похвал, особенно при посторонних, нежных прикосновений и влюбленных взглядов.

Венчает пирамиду потребность в самореализации. Неправильное поведение здесь – высмеивание вкусов, духовных нужд и стремлений любимого. После каждого нужного Вам решения не скупитесь на знаки внимания к творчеству партнера. Это может проявляться в мелочах, например,вы смеетесь над его удачными шутками и пересказываете их другим людям со ссылкой на автора. Также хорошо создавать любимому человеку условия для творчества в той сфере, где он действительно талантлив.

Конечно, можно добиваться поставленных задач путем лишения партнера необходимого. Но по-настоящему укрепить и обогатить отношения можно только стараясь удовлетворить потребности близкого человека по высшему классу. Беззаветная и неэгоистичная любовь поможет Вам угадать, в отдельно взятой ситуации.

Видео по теме

Обратите внимание

Пользуясь свойством линейности задачи, соединяем эти точки так называемой переходной прямой. Линия влияния, составленная из двух построенных ветвей графика S3−4 (x) и переходной прямой образуют линию влияния усилия S3−4 , означающую зависимость этого усилия от места положения единичной нагрузки (рис. 97). Строим линию влияния усилия в стойке 3-8 при движении единичного груза понизу.

Источники:

• Кинематический метод построения линий влияния в балке в 2019

Мир, который нас всех окружает, имеет три измерения, а вот лист бумаги или холст, на котором мы пытаемся изобразить окружающую реальность, увы, всего-навсего двухмерный. Для того, чтобы изображаемые нами объекты казались максимально объёмными и реалистичными, нужно соблюдать определенные правила и верно выстраивать перспективу .

Вам понадобится

• лист бумаги, карандаш, линейка

Инструкция

Далее определяем, где относительно линии горизонта будет располагаться предмет. Если он находится на уровне глаз (то есть на линии горизонта), то мы смотрим на предмет прямо. Если предмет выше линии горизонта, мы смотрим на него снизу, соответственно, в этом случае становится видно нижнюю часть . Если же предмет поместить ниже линии горизонта, то видимой окажется верхняя часть. Строим предмет, проверяем при помощи линейки, чтобы все параллельные линии сходились в одной точке.

Видео по теме

Обратите внимание

Также при построении преспективы нужно помнить не только о том, что все параллельные прямые сходятся в одной точке, но и о том, что по мере удаления все изображаемые предметы уменьшаются. Сильно удаленные предметы и вовсе превращаются в точки.

В последнее время кровельные материалы с прозрачным покрытием все чаще используются при строительстве гаражей. Преимущество прозрачной крыши состоит в том, что она пропускает большое количество дневного света, а уровень освещения позволяет работать без дополнительного искусственного освещения.

Вам понадобится

• - рулетка;
• - фломастер;
• - дрель;
• - шурупы;
• - шуруповерт;
• - прозрачный пластик;
• - уплотнительные кольца;
• - герметик;
• - профилированный пенопласт.

Инструкция

Замерьте крыши с помощью рулетки. Разметьте кровельное покрытие так, чтобы его листы ложились внахлест. Ширина нахлеста – полтора сантиметра. Отметьте линию среза цветным фломастером. Учтите, что торец должен примыкать к кромке под углом 90 градусов.

Просверлите в листах пластика отверстия под шурупы. Диаметр отверстия должен быть больше диаметра метизов на 4 мм. Закрепите на с помощью шурупов. Крепления должны находиться на каждом втором гребне рельефного листа. Пластик – достаточно хрупкий материал, поэтому в процессе его крепления ограничьте механическое воздействие. Рекомендуется использовать – шуруповерт.

При монтаже кровельного покрытия необходимо установить уплотнительные кольца и пластмассовые колпачки между и стенами. В качестве дополнительного уплотнителя можно использовать профилированный , который крепится с помощью шурупов в сквозных отверстиях.

Видео по теме

Обратите внимание

Крыша гаража будет смотреться правильно и красиво лишь в том случае, если стропильные рамы имеют одинаковую форму и правильно выставлены. Поэтому при производстве подготовительных и кровельных работ следует использовать шаблоны. В качестве такого шаблона используется первая сборная рама.

Полезный совет

Чтобы в процессе резки прозрачное покрытие не смещалось, его нужно зажать инструментом, используя деревянные дощечки в качестве прокладок. Пластиковое кровельное покрытие лучше резать пилой с мелкими зубьями. Инструмент нужно слегка наклонить и работать им без нажима. В противном случае ножовочное полотно заклинит.

Источники:

• Устройство разных видов крыш гаражей в 2019

С наступлением лета хочется изменить свой гардероб, добавить в него новые краски и фасоны. Не обязательно для этого идти в магазин - некоторые модели одежды можно сшить самостоятельно. Одним из самых простых в изготовлении предметов одежды по праву считается сарафан. Достаточно выбрать хорошую легкую ткань, сделать выкройку и сшить все детали вместе.

Вам понадобится

• - бумага;
• - карандаш;
• - сантиметровая лента;
• - линейка;
• - ножницы.

Инструкция

Возьмите сантиметровую ленту и измерьте следующие расстояния: ДСП – длина спины до талии, ДСБ – длина спины до бедер, ПГ – расстояние от плеча до верхней точки груди, ОТ – объем талии, ОБ – объем бедер, ОГ – объем груди, ВТ – расстояние между верхними точками груди, ДИ – длина изделия (от плеча до подола).

Возьмите большой лист бумаги (лучше специальной бумаги для выкроек с миллиметровой разметкой) и начертите прямоугольник, длина которого равна ДИ, а ширина равна четверти ОГ. Если ваш объем бедер больше, чем объем груди, ширина прямоугольника должна быть равна четверти ОБ. Это будет половинка переда. Cразу отметьте одну из вертикальных сторон как середину.

Найдите линию талии, груди и бедер. Для этого от верхней границы прямоугольника отмерьте расстояния, равные ПГ, ДСТ, и ДСБ и проведите на этом уровне горизонтальные линии.

Найдите верхнюю точку груди. Для этого по линии груди от середины переда отмерьте половину ВТ. Проведите от этой точки вертикальную черту через весь прямоугольник.

В месте пересечения этой черты с линией талии сделайте вытачку, для этого вправо и влево от точки пересечения отложите по 2 – 4 см. Соедините эти две точки с верхней точкой груди и с линией бедер. У вас должен получиться длинный вертикальный ромб. Вторую вытачку сделайте вдоль бокового шва (получится половина ромба).

Оформите верхнюю часть сарафана по своему желанию в виде буквы «Л». Можете сделать круглый, треугольный или прямой вырез. Пройму сделайте низкую или высокую, в зависимости от вашей фигуры. На вершине буквы «Л» (на пересечении проймы и выреза) закрепите бретели.

Таким же образом постройте выкройку спинки. Отличие спинки от переда в том, что верхняя часть будет просто горизонтально срезана, по высоте пересечения линии проймы с боковой линией.

Вырежьте детали выкройки сарафана и приступайте к шитью.

Подмостки – это площадки возле береговой линии, как будто парящие над водой.

Обычно они деревянные и представляют собой продолжение садовой тропинки. На подмостки можно поставить деревянную беседку или скамейку, сидя на которой приятно ловить рыбу или просто любоваться прудом. А если в водоеме можно купаться, то более удобного места для ныряний не найти.

Проектирование и установка подмостков – интересная и творческая задача:

1. Сначала устанавливаются сваи, их можно сделать из металлической трубы (100х100 мм),

2. Затем к ним крепится деревянная или металлическая рама, к которой уже крепятся доски настила. Между ними для вентиляции древесины оставляются зазоры.

3. На берегу через каждые три метра, сооружаются фундаментные столбы, на которые опирается настил. Они должны возвышаться над водой на 20-30 см., учитывая то, что в периоды дождей уровень воды повышается. По мнению специалистов, подмостки делаются не больше 25% от зеркала воды.

Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня.Семинар 21

Определение 1
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных
величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует
определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых
переменных x,y, определенных в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Определение 2
Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция
z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой
функции.
Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости
OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку
, лежащую в
области G или на ее границе.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к
точке
, если для каждого числа
найдется такое число r>0, что
для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство
имеет
место неравенство

Определение 4
Пусть точка
принадлежит области определения функции f(x,y).
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке
, если имеет место
равенство
(1)
Причем точка M(x,y) стремится к точке
произвольным образом,
оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Если в некоторой точке
не выполняется условие (1), то точка
называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не
выполняться, например, в следующих случаях:
1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки
,
за исключением самой точки
.
2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
, но не
существует
3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
и
существует
, но
Определение 5
Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости
OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.

Определение 6
Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность u=f(x,y,z)=с
плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция принимает действительные значения при условии
или
, т. е. областью определения данной функции является круг радиуса
а с центром в начале координат, включая граничную окружность.
2. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция определена, если
Областью определения
функции является плоскости, заключенная между двумя параболами
, за исключением точки О(0,0).
3. Найти область определения функции
.
Решение.
Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные
значения при
, т. е. область определения –
часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного
гиперболоида.

4. Найти линии уровня функции
Решение.
Уравнение семейства линий уровня имеет вид
.
Придавая С различные действительные значения, получим концентрические
окружности с центром в начале координат.
5. Найти поверхности уровня функции
Решение.
Уравнение семейства поверхностей имеет вид
.
Если С=0, то получаем
- конус.
Если С>0, то получаем
- семейство однополостных
гиперболоидов;
Если С<0, то получаем
- семейство двуполостных гиперболоидов;
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти области определения функции
2. Найти линии уровня функций:

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

П р и м е р 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только

|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1. Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .

П р и м е р 2. Найти .

Решение. По любой прямой предел один и тот же:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .

О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1) ;

2) , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р. Докажем, что функция

непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Решение . Имеем:

,

П р и м е р 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

П р и м е р 3. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Пример 4. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) сущест­вуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и не­прерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного при­ращения функции двух переменных

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

Выражение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">

Пример 2. Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциа­ла:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Тогда по формуле (*) получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не незави­симые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Разделим обе части этого равенства на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от неза­висимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внима­ние, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Находим частные производные

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Доказанное правило дифференцирования сложных функций при­меняется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Полагая t=1, находим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных про­изводных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

П р и м е р 3. Вычислить , если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .

Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функ­ция тех же переменных, и мы можем определить полный дифферен­циал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифферен­циал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух пере­менных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При перехо­де от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит пол­ное приращение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5. 12 . Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

т. е..jpg" width="89" height="33 src=">

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">