Переход к канонической форме злп. Каноническая форма задач линейного программирования
Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
- если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
- если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
- если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
- если некоторая переменная x j
не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .
Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:
min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.
Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.
Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.
В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 " - x 7 , где x 1 " ≥ 0, x 7 ≥ 0 .
Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:
L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 " ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.
Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.
Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.
Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.
Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.
Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.
Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.
Алгоритм симплексного метода
1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.
2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.
Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:
1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное
решение оптимальное.
2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.
Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.
4. Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.
5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k - тый столбец принимаем за ведущий.
6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.
7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.
Заполняем симплексную таблицу 2:
· заполняем базисный столбец нулями и единицей
· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент
· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы
· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”
Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:
Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.
Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.
Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,...n.
Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точностью) за конечное число шагов (итераций).
Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-метода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения отношения
будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновременно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет содержать нулевые элементы.
Запись целевой функции и системы ограничений в различных задачах линейного программирования неодинаков: в одних задачах требуется найти минимум целевой функции, а в других – максимум; в одних случаях искомые переменные зависят от одного индекса, а в других – от двух; в одних задачах ограничения заданы в виде системы линейных неравенств, а в других – в виде системы линейных уравнений. На практике возможны также задачи, в которых часть ограничений имеет вид линейных неравенств, а часть – линейных уравнений. Также не во всех задачах может требоваться неотрицательность переменных .
Учет такого разнообразия задач линейного программирования требует разработки специальных методов для решения отдельных их классов. Мы же сосредоточим свое внимание на изучении общих свойств и методов линейного программирования, записанных в так называемой канонической форме.
Если в задаче линейного программирования система исходных ограничений приобретает вид уравнений типа
и нужно найти максимум линейной целевой функции
то считается, что задача линейного программирования записана в канонической форме.
Любую задачу линейного программирования можно легко свести к канонической форме. В общем случае для этого достаточно уметь, во-первых, свести задачу минимизации целевой функции к задаче ее максимизации, во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, и в-третьих, менять те переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.
В
том случае, когда нужно найти минимум
функции
,
можно перейти к нахождению максимума
функции
,
поскольку справедливо утверждение:
.
Ограничение-неравенство
исходной задачи, которое
имеет вид
«
»
, можно превратить в ограничение-уравнение
путем добавления к его левой части
дополнительной неотрицательной
переменной, а ограничение-неравенство
вида «
»–
путем вычитания из его левой части
дополнительной неотрицательной
переменной.
Заметим, что количество введенных дополнительных неотрицательных переменных всегда равно количеству неравенств в исходной системе ограничений.
Введены дополнительные переменные имеют вполне конкретный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расходы и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной показывает объем соответствующего неиспользованного ресурса.
Отметим
также, что если некоторая переменная
не подчиняется условию неотрицательности,
то ее нужно заменить двумя неотрицавтельными
переменными
и
,
приняв
.
Пример
.
Записать в
канонической форме следующую задачу
линейной оптимизации: найти минимум
функции
при
ограничениях
Решение
В данной задаче нужно найти минимум целевой функции, а система ограничений включает четыре неравенства. Для того, чтобы записать ее в канонической форме, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-уравнениям, а также превратить целевую функцию.
Так
как количество неравенств, входящих в
систему ограничений задачи, равно
четырем, то этот переход должен быть
осуществлен с введением четырех
дополнительных неотрицательных
переменных. При этом во втором и четвертом
неравенствах стоит знак «
»
, поэтому к их левой части дополнительные
переменные добавляем. В первом и третьем
неравенствах – знак «
»,
значит от их левой части дополнительные
переменные вычитаем.
Также превращаем целевую функцию, поменяв все знаки на противоположные, и находим ее максимум.
Таким образом, данная задача линейного программирования будет записана в следующем каноническом виде:
найти
максимум функции
при
ограничениях
Аналитическим методом решения задачи линейного программирования является симплексный метод. Для его применения задачи ЛП, представленные различным образом, должны быть приведены к канонической форме. Задача линейного программирования, записанная в виде (2.1.1)-(2.1.3), представляет собой развернутую форму записи общей задачи линейного программирования (ЗЛП).
Канонической задачей линейного программирования (КЗЛГТ) будем называть следующую задачу:
при ограничениях, имеющих вид равенств,
Если для задачи в форме (2.3.1)-(2.3.4) выполняется условие т = п, то ее решение сводится к решению системы уравнений
- (2.3.2) . При этом задача не будет иметь решений, если условие
- (2.3.3) не выполняется или система уравнений не имеет решения.
условие т
- 1. Для перехода от задачи максимизации целевой функции (2.3.1) к задаче минимизации достаточно взять все коэффициенты Cj целевой функции с обратными знаками и решить полученную задачу на максимум. После нахождения максимума значение целевой функции надо взять с обратным знаком. Оптимальное решение останется прежним.
- 2. Для перехода от ограничения типа «меньше или равно» к равенству в него необходимо со знаком «плюс»:
3. Для перехода от ограничения типа «больше или равно» к равенству в него необходимо ввести дополнительную неотрицательную переменную со знаком «минус»:
При этом в каждое неравенство вводится своя (п + /)-я дополнительная переменная.
- 4. Все равенства, имеющие отрицательные свободные члены, делятся на -1, для того чтобы выполнялось условие (2.3.4).
- 5. Если на некоторую переменнуюXj не накладывается условие неотрицательности , то делают замену переменных Xj=х". - х" x"j > 0, х"> 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные.
Имеет место утверждение, что любую ЗЛП можно привести к канонической форме.
Пример 2.3.1. Преобразуем задачу, приведенную в примере 2.2.2, в каноническую форму. Целевая функция и система ограничений выглядят следующим образом:
Введем в первое неравенство дополнительную переменную jc 3 > 0 со знаком «плюс», во второе х 4 > 0 со знаком «минус» и в третье х 5 > 0 также со знаком «плюс». В результате получим систему ограничений задачи в канонической форме:
При этих ограничениях нужно найти максимальное значение функции:
Рассмотрим экономический смысл дополнительных переменных в канонической задаче оптимального использования ресурсов.
Пример 2.3.2. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах) [ 17 J.
В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов трех видов: труд (80 человекодней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станкочасов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и о доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 2.3.1.
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором ее общая стоимость будет максимальной.
Экономико-математическая модель задачи Переменные : х х,х 2 , х 3 , х 4 - количество ковров каждого типа. Целевая функция - это общая стоимость продукции, которую необходимо максимизировать:
Ограничения по ресурсам :
Приведем задачу к канонической форме, вводя дополнительные переменные х 5 , х 6
и х 7:
Далее будет показано, что оптимальным планом выпуска продукции является вектор X* = (0; 30; 10; 0), значение целевой функции равно 150, т.е. для максимизации общей стоимости продукции необходимо выпустить 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. Подставим оптимальные значения вектора X в ограничения КЗЛП:
Получим, что ресурсы «труд» и «оборудование» используются полностью, ресурс «сырье» имеется в избытке:
В этом случае х в показывает, что сырья осталось 200 кг.
Таким образом, основные переменные x v х 2 , х 3 , х л означают количество ковров каждого типа, а дополнительные переменные х 5 , х 6 их 7 - объем недоиспользованных ресурсов.
Ответ. Оптимальный план выпуска продукции X* = (0; 30;
10; 0).
Планом , или допустимым решением , КЗЛП называется вектор X = (jc p х 2 ,..., х п ), удовлетворяющий условиям (2.3.2)-(2.3.4).
Если все компоненты базисного решения системы ограничений КЗЛП неотрицательны, то такое решение называется опорным решением или опорным планом. Число положительных компонент опорного плана не может превышать т.
Опорный план называется невырожденным, если он содержит т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным.
Оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции (2.3.1).
Множество всех планов ЗЛП (если они существуют) является выпуклым многогранником. Каждой угловой (крайней) точке многогранника решений соответствует опорный план (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый опорный план определяется системой т линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из п векторов Д, Д,..., А п. Если существует оптимальный план, то существует такая угловая точка многогранника решений, в которой линейная функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения.
Для отыскания оптимального плана достаточно исследовать только опорные планы. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в задаче, определяется числом сочетаний С т п (см. параграф 1.4).
Пример 2.3.3. Получить решение задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (решить ЗЛ П):
Решение. Приведем задачу к каноническому виду путем введения дополнительных переменныхх 3 , х 4 и х 5:
Найдем все опорные планы системы ограничений данной КЗЛП (л? - 5; /77 - 3); их количество не превышает 10:
Используя метод Жордана - Гаусса (см. параграф 1.4), выписываем все базисные решения системы уравнений (табл. 2.3.2).
|
Номер базис ного решения |
Базис |
План |
|||||
Среди десяти базисных решений пять опорных:
Указанным опорным планам на рис. 2.3.1 отвечают соответственно следующие угловые точки и значения ЦФ в них:
Рис. 2.3.1.
Согласно теории ЛП оптимальное решение содержится среди опорных планов.
Таким образом, максимальное значение, равное 2300, целевая функция достигает в точке В на опорном плане Х 5 = (70; 80; 0; 60; 0).
Ответ. Оптимальный план задачи: х { = 70, х 2 = 80, значение целевой функции f(x v х 2) = 2300.
Cтраница 1
Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация, линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.
Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака.
Каноническая форма задачи линейного программирования удобна тем, что легко находится начальная вершина допустимой области.
Рассмотрим каноническую форму задачи линейного программирования и метод исключения Жордана - Гаусса.
Часто оказывается удобной каноническая форма задачи линейного программирования.
При преобразовании системы ограничений к канонической форме задачи линейного программирования неравенства (12) и (13) должны быть заменены равенствами. Для этого вводят дополнительные неотрицательные переменные.
Доказать, что попарно коммутирующие вещественные матрицы одновременно приводятся к канонической форме задачи 1128 преобразованием подобия посредством ортогональной матрицы.
По существу (4) - (5) можно рассматривать как каноническую форму задачи нелинейного программирования, поскольку методы, изложенные в гл. Обычно в задачах нелинейного программирования не выдвигается требование целочисленности переменных.
| Виды ограничений и методы их преобразования. |
Каноническая форма задачи характеризуется однородностью системы ограничений в виде системы уравнений; максимизацией целевой функции; условием неотрицательности всех переменных, участвующих в задаче.
Никаких дополнительных особенностей каноническая форма задач в рассматриваемую вычислительную схему не добавляет.
Рассмотрим сначала вторую каноническую форму задачи на минимум.
Алгоритм симплекс-мете да гложно разбить на два этапа. На первом этапе исключением переменных находят базисное решение. Если оно найдено, то мы имеем каноническую форму задачи для перехода ко второму этапу. На втором этапе проверяют, есть ли ограниченный оптимум. Если он существует то определяются допус - тимые базисные решанпя ив которых выбирается оптимальное.
Если решается задача в канонической форме, то используется лишь часть введенных во втором параграфе операций. Так, для канонической задачи на минимум реализуется только случай пункта 3.4.1, и нужны лишь операции циклической перестановки столбцов, прогонки столбца через зону вертикального окаймления, исправления структурных нарушений и часть операции усечения. Симметрично, при решении канонической задачи на максимум реализуется только случай пункта 3.4.2, и нужны операции циклической перестановки строк, прогонки строки через зону горизонтального окаймления, исправления структурных нарушений и другая часть операции усечения. В остальном никакой дополнительной специфики каноническая форма задачи не добавляет.
В первом параграфе введения было показано, как общую задачу линейного программирования можно свести к одной из канонических форм. Для канонически (же задач описание метода последовательного улучшения формально упрощается, так как отпадает необходимость рассматривать два варианта нарушения условий оптимальности и два варианта выхода в следующую вершину. Однако при этом увеличиваются размеры базисной матрицы А [ /, J ], которые в основном и определяют трудоемкость одного шата. Тем не менее, во многих случаях применение метода к каноническим формам задачи оказывается предпочтительным, и в этом параграфе мы остановимся на вариантах метода, получающихся для частных задач линейного программирования.
Страницы: 1
канонической форме , если требуется максимизировать целевую функцию, все ограничения системы – уравнения и на все переменные наложено условие неотрицательности.
Задача линейного программирования задана в симметричной форме , если требуется максимизировать целевую функцию, все ограничения системы – неравенства «» (или минимизировать целевую функцию, все ограничения системы – неравенства «») и на все переменные наложено условие неотрицательности.
Набор чисел называется допустимым решением (планом) , если он удовлетворяет системе ограничений ЗЛП.
Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР).
Допустимое решение , для которого достигается максимальное (минимальное) значение функции, называется оптимальным планом ЗЛП .
Термины «план» и «оптимальный план» возникли из экономических приложений.
Все три формы записи ЗЛП являются эквивалентными в том смысле, что имеются алгоритмы перехода от одной формы к другой. Таким образом, если имеется способ решения задачи в одной из форм, то всегда можно определить оптимальный план задачи, заданной в любой другой форме . Задача в симметричной форме решается графическим методом, а в канонической форме – симплекс–методом.
Рассмотрим алгоритмы перехода от одной формы к другой.
Симметричная каноническая. Переход осуществляется путем добавления в левую часть каждого неравенства дополнительной неотрицательной переменной. Если неравенство было «≤», то балансовая переменная добавляется в левую часть неравенства со знаком «+». Если неравенство было «», то балансовая переменная добавляется в левую часть неравенства со знаком «–». Вводимые новые переменные называются балансовыми . Задачу минимизации функции Z заменяют на задачу максимизации функции (–Z) и используют, что min Z = –max (–Z).
Каноническая симметричная. Для осуществления такого перехода находится общее решение системы уравнений – ограничений, целевая функция выражается через свободные переменные. Далее, воспользовавшись неотрицательностью базисных переменных, можно исключить их из задачи. Симметричная форма задачи будет содержать неравенства, связывающие только свободные переменные, и целевую функцию, зависящую только от свободных переменных. Значения базисных переменных находятся из общего решения исходной системы уравнений.
Общая каноническая. Каждая переменная, на которую не было наложено условие неотрицательности, представляется в виде разности двух новых неотрицательных переменных. Неравенства преобразуются в уравнения путем введения в левую часть каждого неравенства балансовой переменной таким же образом, как это было описано при переходе от симметричной к канонической форме. Задачу минимизации функции Z заменяют на задачу максимизации функции (–Z) таким же образом, как это было описано при переходе от симметричной к канонической форме..
Графический метод решения задачи линейного программирования
Множество точек называется выпуклым , если для любых двух точек множества оно содержит отрезок, их соединяющий.
Пример 1
Следующие множества точек на плоскости являются выпуклыми:
Следующие множества точек на плоскости не являются выпуклыми:
Теорема 1 Пересечение любого количества выпуклых множеств является выпуклым множеством.
Теорема 2 Пусть имеются две произвольные точки и в пространстве R n . Тогда для любой точки отрезка [PQ ] должно выполняться: .где .
Гиперплоскостью в пространстве R n называется множество точек, удовлетворяющее уравнению . Заметим, что в двумерном случае гиперплоскостью является прямая.
Полупространством называется множество точек, удовлетворяющее одному из неравенств или . Гиперплоскость делит точки пространства на два полупространства. В двумерном случае гиперплоскостью является полуплоскость.
Теорема 3 Полупространство является выпуклым множеством.
Следствие Пересечение любого количества полупространств является выпуклым множеством.
Многогранником называется пересечение одного или более полупространств. Многогранник в двумерном случае называется многоугольником.
Пример 2
Следующие множества являются многоугольниками.
Ограниченное множество
Неограниченное множество
Единственная точка
Пустое множество
Точка выпуклого множества называется угловой
, если она не лежит внутри никакого отрезка, соединяющего две другие точки из множества.
Пример 3
Угловыми точками треугольника являются его вершины (их три). Угловыми точками круга являются точки окружности, которая его ограничивает (их бесконечное число).
Угловая точка многогранника называется его вершиной .
Рассмотрим ЗЛП, заданную в симметричной форме.
Теорема 4 Оптимальный план ЗЛП соответствует вершине многогранника решений, определяемого ее системой ограничений.