MED Essensen af ​​Lagrange-metoden er at reducere problemet med et betinget ekstremum til at løse et problem uden betinget ekstremum. Overvej den ikke-lineære programmeringsmodel:

(5.2)

Hvor
– kendte funktioner,

EN
– givne koefficienter.

Bemærk, at i denne problemformulering er begrænsningerne specificeret ved ligheder, og der er ingen betingelse for, at variablerne er ikke-negative. Derudover mener vi, at funktionerne
er kontinuerte med deres første partielle derivater.

Lad os transformere betingelser (5.2), så der på venstre eller højre side af lighederne er nul:

(5.3)

Lad os komponere Lagrange-funktionen. Det inkluderer objektivfunktionen (5.1) og højre side af begrænsningerne (5.3), taget henholdsvis med koefficienterne
. Der vil være lige så mange Lagrange-koefficienter, som der er begrænsninger i problemet.

Funktionens ekstremumpunkter (5.4) er ekstremumpunkterne oprindelige problem og omvendt: den optimale problemplan (5.1)-(5.2) er Lagrange-funktionens globale yderpunkt.

Faktisk, lad en løsning findes
problemer (5.1)-(5.2), så er betingelser (5.3) opfyldt. Lad os erstatte planen
ind i funktion (5.4) og verificere gyldigheden af ​​lighed (5.5).

For at finde den optimale plan for det oprindelige problem er det således nødvendigt at undersøge Lagrange-funktionen for ekstremum. Funktionen har ekstreme værdier på punkter, hvor dens partielle afledte er ens nul. Sådanne punkter kaldes stationær.

Lad os definere de partielle afledte af funktionen (5.4)

,

.

Efter udligning nul derivater får vi systemet m+n ligninger med m+n ukendt

,(5.6)

I det generelle tilfælde vil system (5.6)-(5.7) have flere løsninger, som vil inkludere alle Lagrange-funktionens maksima og minima. For at fremhæve det globale maksimum eller minimum, beregnes værdierne af objektivfunktionen på alle fundne punkter. Den største af disse værdier vil være det globale maksimum, og den mindste vil være det globale minimum. I nogle tilfælde er det muligt at bruge tilstrækkelige betingelser for et strengt ekstremum kontinuerlige funktioner (se opgave 5.2 nedenfor):

lade fungere
er kontinuert og to gange differentierbar i et eller andet område af dets stationære punkt (de der.
)). Derefter:

EN ) Hvis
, (5.8)

At – punkt for strengt maksimum af funktionen
;

b) Hvis
, (5.9)

At – punkt for strengt minimum af funktionen
;

G ) Hvis
,

så forbliver spørgsmålet om tilstedeværelsen af ​​et ekstremum åbent.

Derudover kan nogle løsninger af system (5.6)-(5.7) være negative. Hvilket ikke stemmer overens med den økonomiske betydning af variablerne. I dette tilfælde bør du overveje at erstatte negative værdier med nulværdier.

Økonomisk betydning af Lagrange-multiplikatorer. Optimal multiplikatorværdi
viser, hvor meget kriterieværdien vil ændre sig Z når ressourcen stiger eller falder j med én enhed, siden

Lagrange-metoden kan også bruges i tilfælde, hvor begrænsningerne er uligheder. Således at finde yderpunktet af funktionen
under forhold

,

udføres i flere faser:

1. Bestem stationære punkter for objektivfunktionen, som de løser et ligningssystem for

.

2. Fra de stationære punkter skal du vælge dem, hvis koordinater opfylder betingelserne

3. Brug Lagrange-metoden til at løse problemet med lighedsbegrænsninger (5.1)-(5.2).

4. Undersøg punkter fundet i andet og tredje trin for det globale maksimum: sammenlign værdierne objektiv funktion på disse punkter – den højeste værdi svarer til den optimale plan.

Opgave 5.1 Lad os løse opgave 1.3, betragtet i det første afsnit, ved hjælp af Lagrange-metoden. Den optimale fordeling af vandressourcerne er beskrevet af en matematisk model

.

Lad os komponere Lagrange-funktionen

Lad os finde det ubetingede maksimum af denne funktion. For at gøre dette beregner vi de partielle afledte og sætter lighedstegn mellem dem til nul

,

Således fik vi et system af lineære ligninger af formen

Løsningen på ligningssystemet repræsenterer en optimal plan for fordeling af vandressourcer på tværs af kunstvandede områder

, .

Mængder
målt i hundredtusindvis af kubikmeter.
- mængden af ​​nettoindkomst pr. hundrede tusinde kubikmeter kunstvandingsvand. Derfor er marginalprisen på 1 m 3 vandingsvand lig med
hule. enheder

Den maksimale ekstra nettoindtægt fra kunstvanding vil være

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. enheder)

Opgave 5.2 Løs et ikke-lineært programmeringsproblem

Lad os repræsentere begrænsningen som:

.

Lad os sammensætte Lagrange-funktionen og bestemme dens partielle afledte

.

For at bestemme de stationære punkter for Lagrange-funktionen skal dens partielle afledte sættes lig med nul. Som et resultat får vi et ligningssystem

.

Af den første ligning følger

. (5.10)

Udtryk erstatte i den anden ligning

,

hvilket indebærer to løsninger til :

Og
. (5.11)

Ved at indsætte disse løsninger i den tredje ligning får vi

,
.

Værdier af Lagrange-multiplikatoren og det ukendte Lad os beregne ved hjælp af udtryk (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Derfor har vi to yderpunkter:

;
.

For at finde ud af, om disse point er maksimum- eller minimumspoint, bruger vi tilstrækkelige betingelser for strengt ekstremum (5.8)-(5.9). Forudtryk for , opnået fra begrænsningen af ​​den matematiske model, erstatter vi den med den objektive funktion

,

. (5.12)

For at kontrollere betingelserne for et strengt ekstremum bør vi bestemme tegnet for den anden afledede af funktion (5.11) ved de ekstreme punkter, vi fandt
Og
.

,
;

.

Dermed, (·)
er minimumspunktet for det oprindelige problem (
), A (·)
– maksimum point.

Optimal plan:

,
,
,

.

• Tutorial

Alle sammen god dag. I denne artikel vil jeg vise en af grafiske metoder konstruktion matematiske modeller for dynamiske systemer, som kaldes obligationsgraf("binding" - forbindelser, "graf" - graf). I russisk litteratur fandt jeg kun beskrivelser af denne metode i lærebogen fra Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin "MODELING AF MEKATRONISKE SYSTEMER" 2008 Vis også klassisk metode gennem Lagrange-ligningen af ​​2. slags.

Lagrange metode

Jeg vil ikke beskrive teorien, jeg vil vise stadierne af beregninger med et par kommentarer. Personligt er det nemmere for mig at lære af eksempler end at læse teori 10 gange. Det forekom mig, at i russisk litteratur er forklaringen af ​​denne metode, og faktisk matematik eller fysik generelt, meget rig på komplekse formler, som derfor kræver en seriøs matematisk baggrund. Mens jeg studerede Lagrange-metoden (jeg studerer ved det polytekniske universitet i Torino, Italien), studerede jeg russisk litteratur for at sammenligne beregningsmetoder, og det var svært for mig at følge fremskridtene med at løse denne metode. Selv ved at huske modelleringskurserne på Kharkov Aviation Institute var udledningen af ​​sådanne metoder meget besværlig, og ingen generede sig selv i at forsøge at forstå dette problem. Dette er, hvad jeg besluttede at skrive, en manual til at konstruere matematiske modeller i henhold til Lagrange, da det viste sig, at det slet ikke er svært, det er nok at vide, hvordan man beregner derivater med hensyn til tid og partielle derivater. For mere komplekse modeller tilføjes også rotationsmatricer, men der er heller ikke noget kompliceret i dem.

Funktioner ved modelleringsmetoder:

• Newton-Euler: vektorligninger baseret på dynamisk ligevægt kraft Og øjeblikke
• Lagrange: skalære ligninger baseret på tilstandsfunktioner forbundet med kinetik og potentiale energier
• Obligationstælling: flow baseret metode strøm mellem systemelementer

Lad os starte med simpelt eksempel. Masse med fjeder og dæmper. Vi ignorerer tyngdekraften.

Fig 1. Masse med fjeder og dæmper

Først og fremmest udpeger vi:

• indledende system koordinater(NSK) eller fast sk R0(i0,j0,k0). Hvor? Du kan pege fingeren mod himlen, men ved at rykke i spidserne af neuronerne i hjernen, går ideen igennem om at placere NSC på M1-kroppens bevægelseslinje.
• koordinatsystemer for hver krop med masse(vi har M1 R1(i1,j1,k1)), orienteringen kan være vilkårlig, men hvorfor komplicere dit liv, sæt det med minimal forskel fra NSC
• generaliserede koordinater q_i(det mindste antal variabler, der kan beskrive bevægelsen), i i dette eksempelén generaliseret koordinat, kun bevægelse langs j-aksen

Fig 2. Vi nedlægger koordinatsystemer og generaliserede koordinater

Fig 3. Position og hastighed af kroppen M1

Så finder vi de kinetiske (C) og potentielle (P) energier og den dissipative funktion (D) for dæmperen ved hjælp af formlerne:

Fig 4. Komplet formel for kinetisk energi

I vores eksempel er der ingen rotation, den anden komponent er 0.

Fig 5. Beregning af kinetisk, potentiel energi og dissipativ funktion

Lagrange-ligningen har følgende form:

Fig 6. Lagrange-ligning og Lagrangian

Delta W_i Det her virtuelt arbejde perfektioneret af de påførte kræfter og momenter. Lad os finde hende:

Fig. 7. Beregning af virtuelt arbejde

Hvor delta q_1 virtuel bevægelse.

Vi erstatter alt i Lagrange-ligningen:

Fig 8. Den resulterende massemodel med fjeder og dæmper

Her sluttede Lagranges metode. Som du kan se, er det ikke så kompliceret, men det er stadig et meget simpelt eksempel, hvor Newton-Euler-metoden højst sandsynligt ville være endnu enklere. For mere komplekse systemer, hvor der vil være flere kroppe roteret i forhold til hinanden af anden vinkel, vil Lagranges metode være lettere.

Bond graf metode

Jeg viser dig med det samme, hvordan modellen ser ud i bond-graf for et eksempel med en masse, en fjeder og en dæmper:

Fig 9. Bond-grafmasser med fjeder og dæmper

Her bliver du nødt til at fortælle lidt teori, som vil være nok at bygge simple modeller. Hvis nogen er interesseret, kan du læse bogen ( Bond Graph Metodologi) eller ( Voronin A.V. Modellering af mekatroniske systemer: tutorial. – Tomsk: Tomsk Polytechnic University Publishing House, 2008).

Lad os først bestemme det komplekse systemer består af flere domæner. For eksempel består en elektrisk motor af elektriske og mekaniske dele eller domæner.

obligationsgraf baseret på udveksling af magt mellem disse domæner, subsystemer. Bemærk, at magtudveksling, uanset form, altid bestemmes af to variable ( variabel effekt ) ved hjælp af hvilken vi kan studere interaktionen mellem forskellige delsystemer i et dynamisk system (se tabel).

Som det fremgår af tabellen, er magtudtrykket næsten det samme overalt. Sammenfattende, Strøm- Dette arbejde " flow - f" på " indsats - e».

En indsats(Engelsk) indsats) i det elektriske domæne er dette spænding (e), i det mekaniske domæne er det kraft (F) eller moment (T), i hydraulik er det tryk (p).

Flyde(Engelsk) flyde) i det elektriske domæne er det strøm (i), i det mekaniske domæne er det hastighed (v) eller vinkelhastighed (omega), i hydraulik er det flow eller flowhastighed af væske (Q).

Ved at tage disse notationer får vi et udtryk for magt:

Fig. 10. Potensformel gennem potensvariable

I bond-graph-sproget er forbindelsen mellem to delsystemer, der udveksler magt, repræsenteret af en obligation. bånd). Det er derfor, denne metode kaldes obligations-graf eller g raf-forbindelser, forbundet graf. Lad os overveje blokdiagram forbindelser i en model med en elektrisk motor (dette er endnu ikke en bond-graf):

Fig 11. Blokdiagram over strømflow mellem domæner

Hvis vi har en spændingskilde, så genererer den spænding og overfører den til motoren til vikling (det er grunden til, at pilen er rettet mod motoren), afhængigt af viklingens modstand, vises en strøm i henhold til Ohms lov (rettet fra motoren til kilden). Følgelig er en variabel et input til undersystemet, og den anden skal være det Afslut fra delsystemet. Her er spændingen ( indsats) – input, strøm ( flyde) - Afslut.

Hvis du bruger en aktuel kilde, hvordan vil diagrammet så ændre sig? Højre. Strømmen vil blive rettet til motoren, og spændingen til kilden. Derefter den nuværende ( flyde) - indgangsspænding ( indsats) - Afslut.

Lad os se på et eksempel inden for mekanik. Kraft, der virker på en masse.

Fig 12. Kraft påført masse

Blokdiagrammet bliver som følger:

Fig 13. Blokdiagram

I dette eksempel, Styrke ( indsats) – inputvariabel for masse. (Kraft påført masse)
Ifølge Newtons anden lov:

Masse reagerer med hastighed:

I dette eksempel, hvis en variabel ( kraft - indsats) er indgang ind i det mekaniske domæne, derefter en anden effektvariabel ( fart - flyde) – bliver automatisk Afslut.

For at skelne hvor input er og hvor output er, bruges en lodret linje for enden af ​​pilen (forbindelsen) mellem elementerne, denne linje kaldes tegn på kausalitet eller årsagssammenhæng (kausalitet). Det viser sig: påført kraft er årsagen, og hastighed er virkningen. Dette tegn er meget vigtigt for den korrekte konstruktion af en systemmodel, da kausalitet er en konsekvens af to delsystemers fysiske adfærd og magtudveksling, derfor kan valget af placering af kausalitetstegnet ikke være vilkårligt.

Fig 14. Betegnelse på kausalitet

Denne lodrette linje viser hvilket delsystem der modtager kraften ( indsats) og som et resultat producere et flow ( flyde). I eksemplet med masse ville det være sådan her:

Fig 14. Årsagssammenhæng for den kraft, der virker på massen

Det fremgår tydeligt af pilen, at input for masse er - kraft, og outputtet er fart. Dette gøres for ikke at rode diagrammet med pile og systematisere opbygningen af ​​modellen.

Næste vigtigt punkt. Generaliseret impuls(mængde af bevægelse) og bevæger sig(energivariabler).

Tabel over effekt- og energivariabler i forskellige domæner

Tabellen ovenfor introducerer to yderligere fysiske mængder, der anvendes i obligationsgrafmetoden. De bliver kaldt generaliseret impuls (R) Og generaliseret bevægelse (q) eller energivariable, og de kan opnås ved at integrere effektvariabler over tid:

Fig 15. Sammenhæng mellem effekt- og energivariable

I det elektriske domæne :

Baseret på Faradays lov, spænding ved enderne af lederen er lig med afledten af ​​den magnetiske flux gennem denne leder.

EN Nuværende styrke - fysisk mængde, lig med forholdet mellem mængden af ​​ladning Q, der passerer gennem et stykke tid t tværsnit dirigent, til værdien af ​​denne tidsperiode.

Mekanisk domæne:

Fra Newtons 2. lov, Kraft– tidsafledt af impuls

Og tilsvarende, fart- tidsafledt af forskydning:

Lad os opsummere:

Grundlæggende elementer

Alle elementer i dynamiske systemer, kan opdeles i to-polede og fire-polede komponenter.
Lad os overveje bipolære komponenter:

Kilder
Der er kilder til både indsats og flow. Analogi i det elektriske domæne: kilde til indsats – spændingskilde, stream kilde – nuværende kilde. Årsagstegn for kilder bør kun være sådan.

Fig 16. Årsagssammenhænge og betegnelse af kilder

Komponent R – dissipativt element

Komponent I – inertielement

Komponent C – kapacitivt element

Som det fremgår af figurerne, forskellige elementer en type R,C,I beskrevet af de samme ligninger. KUN der er forskel for elektrisk kapacitans, du skal bare huske dette!

Quadrupol komponenter:

Lad os se på to komponenter: en transformer og en gyrator.

Sidst vigtige komponenter I bond-graph metoden anvendes forbindelser. Der er to typer noder:

Det er det med komponenterne.

De vigtigste trin til etablering af årsagssammenhænge efter konstruktion af en bindingsgraf:

1. Giv kausale sammenhænge til alle kilder
2. Gå alle noderne igennem og nedskriv årsagssammenhænge efter punkt 1
3. Til komponenter I tildele en input-årsagssammenhæng (indsats er inkluderet i denne komponent), for komponenter C tildel output-kausalitet (den indsats kommer ud af denne komponent)
4. Gentag punkt 2
5. Indsæt årsagssammenhænge for R komponenter

Hermed afsluttes minikurset om teori. Nu har vi alt, hvad vi skal bruge til at bygge modeller.
Lad os løse et par eksempler. Lad os starte med elektriske kredsløb, er det bedre at forstå analogien med at konstruere en obligationsgraf.

Eksempel 1

Lad os begynde at bygge en bond-graf med en spændingskilde. Bare skriv Se og sæt en pil.

Se, alt er enkelt! Lad os se videre, R og L er forbundet i serie, hvilket betyder, at den samme strøm løber i dem, hvis vi taler i effektvariable - samme flow. Hvilken node har samme flow? Det rigtige svar er 1-node. Vi forbinder kilden, modstand (komponent - R) og induktans (komponent - I) til 1-knuden.

Dernæst har vi kapacitans og modstand parallelt, hvilket betyder, at de har samme spænding eller indsats. 0-node er egnet som ingen anden. Vi forbinder kapacitansen (komponent C) og modstanden (komponent R) til 0-noden.

Vi forbinder også knudepunkter 1 og 0 til hinanden. Pilenes retning vælges vilkårligt. Forbindelsens retning påvirker kun tegnet i ligningerne.

Du får følgende forbindelsesgraf:

Nu skal vi etablere årsagssammenhænge. Følg instruktionerne for rækkefølgen af ​​deres placering, lad os starte med kilden.

1. Vi har en spændingskilde (indsats), en sådan kilde har kun én variant af kausalitet - output. Lad os tage den på.
2. Dernæst er der komponent I, lad os se, hvad de anbefaler. Vi putter
3. Vi lægger det ned for 1-node. Spise
4. En 0-node skal have én indgang og alle udgangsårsagsforbindelser. Vi har en fridag indtil videre. Vi leder efter komponenter C eller I. Vi fandt det. Vi putter
5. Lad os liste, hvad der er tilbage

Det er alt. Obligationsgraf er bygget. Hurra, kammerater!

Tilbage er blot at skrive de ligninger, der beskriver vores system. For at gøre dette skal du oprette en tabel med 3 kolonner. Den første vil indeholde alle systemets komponenter, den anden vil indeholde inputvariablen for hvert element, og den tredje vil indeholde outputvariablen for den samme komponent. Vi har allerede defineret input og output ved kausale sammenhænge. Så der burde ikke være nogen problemer.

Lad os nummerere hver forbindelse for at lette registreringen af ​​niveauerne. Vi tager ligningerne for hvert element fra listen over komponenter C, R, I.

Efter at have kompileret en tabel definerer vi tilstandsvariablerne, i dette eksempel er der 2 af dem, p3 og q5. Dernæst skal du skrive tilstandsligningerne ned:

Det er det, modellen er klar.

Eksempel 2. Jeg vil gerne straks undskylde for kvaliteten af ​​billedet, det vigtigste er at du kan læse

Lad os løse et andet eksempel for mekanisk system, den samme som vi løste ved hjælp af Lagrange-metoden. Jeg vil vise løsningen uden kommentarer. Lad os tjekke, hvilken af ​​disse metoder der er enklere og nemmere.

I Matbala blev begge matematiske modeller med de samme parametre kompileret, opnået ved Lagrange-metoden og bond-graph. Resultatet er nedenfor: Tilføj tags

MultiplikatormetodeLagrange(i engelsk litteratur "LaGrange's method of undetermined multipliers") ˗ dette numerisk metode løsninger optimeringsproblemer, som giver dig mulighed for at bestemme det "betingede" ekstremum for den objektive funktion (minimum eller maksimum værdi)

i nærværelse af specificerede restriktioner på dets variabler i form af ligheder (dvs. området acceptable værdier)

˗ disse er værdierne af funktionsargumentet (kontrollerbare parametre) på det reelle domæne, hvor funktionsværdien har en tendens til et ekstremum. Brugen af ​​navnet "betinget" ekstremum skyldes, at variablerne er underlagt yderligere betingelse, som begrænser rækkevidden af ​​acceptable værdier, når du søger efter yderpunktet af en funktion.

Lagrange multiplikatormetoden gør det muligt at omdanne problemet med at søge efter et betinget ekstremum af en objektiv funktion på et sæt tilladte værdier til problemet uden betinget optimering funktioner.

I tilfælde af funktionerne Og er kontinuerte sammen med deres partielle afledte, så er der sådanne variable λ, der ikke samtidigt er lig med nul, under hvilke følgende betingelse er opfyldt:

I overensstemmelse med Lagrange-multiplikatormetoden komponerer jeg således Lagrange-funktionen L(x, λ), for at finde yderpunktet af den objektive funktion på sættet af tilladte værdier, som er yderligere optimeret:

hvor λ ˗ er en vektor af yderligere variable kaldet ubestemte Lagrange-multiplikatorer.

Således er problemet med at finde det betingede ekstremum af funktionen f(x) blevet reduceret til problemet med at finde det ubetingede ekstremum af funktionen L(x, λ).

Og

Den nødvendige betingelse for ekstremumet af Lagrange-funktionen er givet af et system af ligninger (systemet består af "n + m" ligninger):

Løsning af dette ligningssystem giver os mulighed for at bestemme argumenterne for funktionen (X), hvor værdien af ​​funktionen L(x, λ), såvel som værdien af ​​målfunktionen f(x) svarer til ekstremummet.

Størrelsen af ​​Lagrange-multiplikatorerne (λ) er af praktisk interesse, hvis begrænsningerne præsenteres i form med et frit led i ligningen (konstant). I dette tilfælde kan vi overveje yderligere (øge/sænke) værdien af ​​den objektive funktion ved at ændre værdien af ​​konstanten i ligningssystemet. Lagrange-multiplikatoren karakteriserer således ændringshastigheden i maksimum af objektivfunktionen, når den begrænsende konstant ændres.

Der er flere måder at bestemme arten af ​​ekstremum af den resulterende funktion:

Første metode: Lad være koordinaterne for ekstremumpunktet, og være den tilsvarende værdi af den objektive funktion. Et punkt tæt på punktet tages, og værdien af ​​objektivfunktionen beregnes:

Hvis , så er der et maksimum på punktet.

Hvis , så er der et minimum på punktet.

Anden vej: Tilstrækkelig stand, hvorfra ekstremumets natur kan bestemmes, er tegnet på den anden differential af Lagrange-funktionen. Den anden differential af Lagrange-funktionen er defineret som følger:

Hvis i givet point minimum, hvis , så har objektivfunktionen f(x) en betinget maksimum.

Tredje metode: Også arten af ​​funktionens ekstremum kan bestemmes ved at overveje Lagrange-funktionens hessian. Den hessiske matrix er en symmetrisk kvadratisk matrix anden partielle afledninger af en funktion ved det punkt, hvor matrixelementerne er symmetriske omkring hoveddiagonalen.

For at bestemme typen af ​​ekstremum (maksimum eller minimum af en funktion), kan du bruge Sylvesters regel:

1. For at den anden differential af Lagrange-funktionen skal have positivt fortegn det er nødvendigt, at funktionens vinklede minorer er positive. Under sådanne forhold har funktionen på dette tidspunkt et minimum.

2. For at den anden differentiale af Lagrange-funktionen skal være negativ i fortegn , er det nødvendigt, at funktionens kantede molorer veksler, og det første element i matricen skal være negativsv. Under sådanne forhold har funktionen på dette tidspunkt et maksimum.

Med angulær mol mener vi den mol, der er placeret i de første k rækker og k kolonner i den oprindelige matrix.

Den vigtigste praktiske betydning af Lagrange-metoden er, at den giver dig mulighed for at gå fra betinget optimering til ubetinget optimering og dermed udvide dit arsenal tilgængelige metoder løse problemet. Men problemet med at løse det ligningssystem, som denne metode reducerer til, er i det generelle tilfælde ikke enklere end det oprindelige problem med at finde et ekstremum. Sådanne metoder kaldes indirekte. Deres brug forklares med behovet for at opnå en løsning på et ekstremt problem i analytisk form (for eksempel til visse teoretiske beregninger). Ved løsning af specifikke praktiske problemer Direkte metoder bruges normalt, baseret på iterative processer til at beregne og sammenligne værdierne af de funktioner, der optimeres.

Beregningsmetode

1 trin: Vi bestemmer Lagrange-funktionen ud fra den givne objektive funktion og system af begrænsninger:

Frem

For at tilføje din kommentar til artiklen skal du registrere dig på webstedet.

LAGRANGE METODE

En metode til at reducere en kvadratisk form til en sum af kvadrater, angivet i 1759 af J. Lagrange. Lad det være givet

fra variable x 0 , x 1 ,..., x s. med koefficienter fra marken k egenskaber Det er påkrævet at bringe denne form til den kanoniske. sind

ved hjælp af ikke-degenereret lineær transformation variabler. L. m. består af følgende. Vi kan antage, at ikke alle koefficienter af form (1) er lig med nul. Derfor er to tilfælde mulige.

1) For nogle g, diagonal derefter

hvor formen f 1 (x) ikke indeholder en variabel x g. 2) Hvis alt Men At

hvor formen f 2 (x) ikke indeholder to variable x g Og x h. Formerne under de firkantede tegn i (4) er lineært uafhængige. Ved at anvende transformationer af formen (3) og (4) form (1) efter begrænset antal trin reduceres til summen af ​​kvadrater af lineært uafhængige lineære former. Ved hjælp af partielle afledninger kan formlerne (3) og (4) skrives i formen

Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Theory of matrics, 2. udg., M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. udgave, M., 1975; Alexandrov P. S., Forelæsninger om analytisk geometri..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Matematisk encyklopædi. - M.: Sovjetisk Encyklopædi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se, hvad "LAGRANGE METHOD" er i andre ordbøger:

Lagrange metode- Lagrange-metoden - en metode til at løse en række problemklasser matematisk programmering ved at finde sadelpunktet (x*, λ*) for Lagrange-funktionen, hvilket opnås ved at ligne de partielle afledte af denne funktion til nul med hensyn til... ... Økonomisk og matematisk ordbog

Lagrange metode- En metode til at løse en række klasser af matematiske programmeringsproblemer ved at finde sadelpunktet (x*, ?*) for Lagrange-funktionen, hvilket opnås ved at sidestille de partielle afledte af denne funktion med hensyn til xi og?i med nul . Se Lagrangian. )