Formler, love, regler, eksempler på tå. Hvorfor bruges komplekse tal til beregninger i AC-kredsløb?

Detaljer 28. marts 2017

Mine herrer, i dagens artikel vil jeg gerne fortælle lidt om komplekse tal og signaler. denne artikel vil overvejende være teoretisk. Dens opgave er at forberede et grundlag for muligheden for at forstå yderligere artikler. Lige når det kommer til fase eller for eksempel opførsel af en kondensator i et kredsløb vekselstrøm, så jeg begynder straks at bestige alle disse kompleksiteter. Men jeg vil stadig gerne tale om fasen, det er en vigtig ting. Nej, denne artikel bliver det ikke kort kursus TFKP, vi vil kun overveje et meget snævert område af dette utvivlsomt interessante og omfattende emne. Så lad os gå!

Men inden vi begynder at tale direkte om komplekse tal, vil jeg også gerne tale om sådan en kuriøs ting som trigonometrisk cirkel. Mine herrer, du og jeg har talt om sinusformet strøm i så mange som tre (en, to, tre) artikler. Men hvordan dannes sinusfunktionen generelt? Og cosinus også? Der er forskellige måder at besvare dette spørgsmål på, men i forbindelse med denne artikel har jeg valgt følgende forklaring. Tag et kig på figur 1. Den viser den såkaldte trigonometriske cirkel.

Figur 1 - Trigonometrisk cirkel

Der er en masse ting malet på der, så lad os finde ud af lidt efter lidt, hvad der er hvad. For det første er der faktisk en bestemt cirkel, hvis centrum falder sammen med midten af ​​koordinatsystemet med akser x Og Y. Radius af denne cirkel lig med én. Bare én, uden volt, ampere og andre ting. Dernæst tegnes to radiusvektorer fra midten af ​​denne cirkel OA Og OE. Det er klart, at længden af ​​disse vektorer er lig med én, fordi vi har en cirkel med enhedsradius. Vinkel mellem vektor OA og akse x er lig med φ 1, vinklen mellem vektoren OE og akse x lig med φ 2

Og nu den mest interessante del, mine herrer. Lad os se på, hvad de er lig med fremskrivninger af disse vektorer på aksen x Og Y. Vektor projektion OA pr akse x- dette er et segment OB, og på aksen Y- dette er et segment OS. Og alt sammen (selve vektoren OA og dets fremskrivninger OB Og OS) danner en retvinklet trekant OAV. Ved at bruge reglerne for at arbejde med en retvinklet trekant kan vi finde dens sider OB Og OS, altså projektionen af ​​radiusvektoren OA på aksen x Og Y:

Helt på samme måde kan du finde relationer for vektoren OE:

Hvis det ikke er klart, hvorfor det er sådan, råder jeg dig til at google om billedformaterne i en retvinklet trekant. Nå, nu drager vi en vigtig konklusion for os selv - projektionen af ​​en enhedsvektor på X-aksen er lig med cosinus af vinklen mellem vektoren og X-aksen, og projektionen på X-aksenY er sinus for denne vinkel.

Lad os nu komme i gang rotere radiusvektor mod uret med en vis frekvens. Nå, så det med sin ende tegner en cirkel. Og, som du sikkert allerede har gættet, med en sådan rotation vil projektionen af ​​vektoren på X-aksen tegne en cosinusfunktion, og projektionen på Y-aksen vil tegne en sinusfunktion. Det vil sige, at hvis denne radiusvektor for eksempel laver 50 omdrejninger pr.

og dens projektion på Y-aksen tegner funktionen

Nok interessant fakta Efter min mening. Generelt er den trigonometriske cirkel en mærkelig ting. Jeg anbefaler at lære ham bedre at kende ved at google dette emne. Det giver dig mulighed for at forstå meget bedre. Vi har nu kun overvejet nogle få af de funktioner, vi skal bruge. Lad os nu midlertidigt lægge dette faktum til side og tale direkte om komplekse tal.

Så mine herrer, et komplekst tal er et udtryk for formen

-en- Det her gyldig del af et komplekst tal z.

b- Det her imaginært del af et komplekst tal z.

Faktisk er et komplekst tal i seriøse bøger om matematik defineret noget anderledes, men vi er ret tilfredse med denne mulighed.

Videnskabeligt er dette algebraisk form for at skrive et komplekst tal. Der er andre, dem lærer vi at kende lidt senere.

EN Og b- det er almindelige tal, som vi alle er vant til. For eksempel 42, 18, -94, 100500, 1,87 og så videre. Det vil sige absolut enhver. For eksempel kan der være sådanne optegnelser

Et nummer j- dette er den såkaldte imaginær enhed. Det er ofte ikke betegnet med j, men med i, men i er normalt aktuelt i elektroteknik, så vi vil bruge bogstavet j. Hvad er det? Formelt kan det skrives sådan

Det er lidt uklart, hvordan dette kan være roden til et negativt tal. Siden barndommen har vi alle vænnet os til, at vi kun har under roden positive tal. Men matematikere har indført sådan en abstraktion, som gør, at man kan udvinde roden fra negative tal. Og mærkeligt nok hjælper en sådan abstraktion ganske godt til at beskrive ganske virkelige, og slet ikke abstrakte, processer i elektroteknik.

Det vil sige, at vi ser, at et komplekst tal i sig selv blot består af to meget almindelige tal. Ja, den anden er indledt af et eller andet mytisk j, men det ændrer ikke på sagens væsen.

Lad os nu få det at vide grafisk fremstilling komplekse tal.

Mine herrer, tag et kig på figur 2. Det er præcis den idé, der er afbildet der.

Figur 2 - Kompleks plan

Så hvad er egentlig pointen her? Og tricket er, at vi tager og tegner et koordinatsystem. I den kalder vi X-aksen Vedr, og Y-aksen er Jeg er. Re er den reelle talakse, ogIm er aksen for imaginære tal. Nu på aksen Vedr vi sætter værdien til side -en, og på aksen Jeg er- størrelse b vores komplekse tal z. Som et resultat får vi et punkt på det komplekse plan med koordinater (EN,b). Og nu kan vi tegne en radiusvektor fra oprindelsen til dette punkt. Faktisk kan denne vektor betragtes som et komplekst tal.

Sjovt faktum: lad os forestille os det b er lig med 0. Så viser det sig, at det komplekse tal degenererer til det mest almindelige, "endimensionelle": den imaginære del forsvinder simpelthen. Og naturligvis vil vektoren i dette tilfælde ligge på aksen Vedr. Det vil sige, at vi kan sige, at alle de tal, der omgiver os i hverdagen, er på aksen Vedr, og et komplekst tal går ud over denne akse og udvider på en eller anden måde grænserne. Nå, lad os ikke gå dybere ind i dette.

Lad os gå dybere ind i noget andet. Nemlig hvordan kan komplekse tal ellers repræsenteres. Vi er lige kommet til den konklusion, at et komplekst tal i det væsentlige er en vektor. Og vektoren kan karakteriseres længde og hældningsvinkel til X-aksen. Faktisk bestemmer disse to parametre fuldstændig enhver vektor, forudsat at vi selvfølgelig har et todimensionalt rum. For et volumen eller et eller andet multidimensionelt rum (hvilken rædsel) er dette ikke sandt, men for et todimensionelt rum er det sandt. Lad os nu udtrykke dette matematisk. Så lad os nu antage, at vi kender længden af ​​vektoren (lad os kalde det | z|) og vinkel φ 1 .

Hvad kan vi finde ud af denne viden? Generelt set ret meget. Faktisk kender vi hypotenusen af ​​en retvinklet trekant og en af ​​dens vinkler, det vil sige ifølge nogle geometriske sætninger, en retvinklet trekant fuldt defineret. Så lad os finde hans ben EN Og b:

Nu, mine herrer, kan vi lave et lille trick med vores ører? Kan du huske den algebraiske notation for et komplekst tal? Nå, denne her

Lad os sætte det her -en Og b, repræsenteret gennem sinus og cosinus. Vi får

Vi fik et interessant udtryk. Formens udtryk

hedder trigonometrisk form for at skrive et komplekst tal. Det er godt, hvis vi kender længden af ​​vores vektor |z| og dens hældningsvinkel φ 1. Hvornår vi taler om elektroteknik vil vektorlængden pludselig blive til signalets amplitude, og hældningsvinklen - til signalets fase. Bemærk i øvrigt, at den trigonometriske form for at skrive et komplekst tal er noget tæt på den trigonometriske cirkel, som vi tegnede i begyndelsen af ​​artiklen. Men vi vender tilbage til denne lighed lidt senere.

Mine herrer, nu skal vi bare stifte bekendtskab med den sidste form for at skrive et komplekst tal - vejledende. For at gøre dette skal du kende den såkaldte Eulers formel. Med din tilladelse vil jeg ikke berøre udledningen af ​​denne formel og overveje, hvor den kom fra. Dette er lidt uden for artiklens rammer, og derudover er der mange kilder, hvor de uden tvivl vil fortælle dig om udledningen af ​​denne formel meget mere professionelt, end jeg kan gøre. Vi vil blot præsentere det færdige resultat. Så Eulers formel ser ud

Hvor e- Det her eksponent eller, som det også kaldes, eksponentialfunktionen. For matematikere er dette en vis grænse, når noget har en tendens til det uendelige, eller kort sagt et almindeligt tal

Ja, kun to komma syv.

Sammenlign nu Eulers formel med den trigonometriske notation af et komplekst tal. Lægger du ikke mærke til nogle interessante ligheder? Ved at krydse disse to udtryk kan vi få præcis vejledende kompleks talform:

Mærkeligt nok bruges denne vanskelige notation ikke så sjældent i elektroteknik.

Så vi blev bekendt med de vigtigste muligheder for at skrive komplekse tal. Lad os nu gradvist bevæge os mod vores foretrukne elektroteknik. Lad os nedskrive loven om ændring i cosinusspænding.

Vi har allerede nedskrevet denne lov flere gange, for eksempel i den allerførste artikel om vekselstrøm. Sandt nok var der en sinus, og her en cosinus, men dette ændrer ikke noget væsentligt, det er bare, at cosinus er lidt mere praktisk til forklaring.

Og nu opmærksomhed, mine herrer. En meget smart rækkefølge af handlinger.

For det første er der ingen, der forhindrer os i at overveje cosinus, der vises i dette udtryk på den trigonometriske cirkel, som vi tegnede i figur 1 helt i begyndelsen af ​​artiklen. Og hvad? Hvorfor ikke? Lad os forestille os, at nogle vektor Á m, svarende til amplituden af ​​vores cosinusspænding, roterer i et rektangulært koordinatsystem med en cirkulær frekvens ω . Og så, på grund af de ovennævnte omstændigheder, vil dens projektion på X-aksen skitsere nøjagtigt vores lov v(t). Der er vist ingen fangst endnu.

Lad os se videre. På X-aksen tegner projektionen vores tidsfunktion, og Y-aksen er slet ikke brugt endnu. Og for at hun ikke bare skulle stå ledig - lad os antage, at dette ikke er en hvilken som helst akseY, a imaginær talakse . Det vil sige, at vi nu introducerer det samme komplekse rum. I dette rum, når vektoren roteres Á m(vektorer er normalt angivet med et bogstav med en prik eller en pil øverst) mens dens projektion på X-aksen tegner en cosinus, vil vi på Y-aksen tegne en sinusfunktion. Hele tricket er, at vi nu ligesom krydser den trigonometriske cirkel med det komplekse plan. Og som et resultat får vi noget i stil med det, der er vist i figur 3 (billedet er klikbart).

Figur 3 - Repræsentation af spænding på det komplekse plan

Hvad ser vi på den? Faktisk, hvad vi lige har talt om. En vektor, der er lig med amplituden af ​​vores spænding, roterer i koordinatsystemet, og cosinusloven vises på X-aksen (som er Re) (den falder fuldstændig sammen med vores signal v(t)). Og på Y-aksen (som er Im) kommer sinusloven frem. I alt baseret på ovenstående vores oprindelige signal

vi kan repræsentere i trigonometrisk form sådan her

eller i demonstrationsform sådan her

Lad os nu forestille os, at vi ikke har et cosinussignal, men et sinusformet. Vi vænnede os mere til det. Det vil sige, lad spændingen ændre sig i henhold til denne lov

Lad os udføre alle ræsonnementerne på en lignende måde. Den eneste forskel vil være, at nu er vores signal "tegnet" på den imaginære Im-akse, og Re-aksen ser ud til at være ude af drift. Men ved at introducere komplekst rum, får vi pludselig den komplekse signalnotation for dette tilfælde nøjagtig det samme som for cosinus-kassen. Altså for signalet

vi kan skrive en kompleks repræsentation i trigonometrisk form sådan her

eller i demonstrationsform sådan her

Det viser sig at den komplekse repræsentation for tilfældet af et sinus- og cosinussignal har samme form. Det er i øvrigt ret tydeligt, hvis man husker, at når en vektor roterer rundt om en cirkel, optræder både sinus og cosinus samtidigt på forskellige akser. Og selve det komplekse tal beskriver netop denne roterende vektor og indeholder således information om både X- og Y-aksen.

Lad os nu gå baglæns og forestille os, at vi har en optagelse af et komplekst signal i formen

Eller for eksempel i denne form

Hvordan forstår du, hvad det beskriver: sinus eller cosinus? Svaret er nej. Han beskriver begge dele på samme tid. Og hvis vi har cosinus signal så må vi tage gyldig del af dette komplekse signal, og hvis sinusformet - imaginært. Det er til cosinuskassen det ser sådan ud:

eller sådan

EN for sinus det ser sådan ud

eller sådan

Her Re() Og Jeg er()- funktioner til at tage den reelle eller imaginære del af et komplekst tal. De er i øvrigt defineret i mange matematiske CAD-systemer og kan bruges direkte i denne form. Det vil sige, giv dem et komplekst tal, og modtag den reelle eller imaginære del ved udgangen.

Du spørger måske: hvorfor komplicere tingene så meget? Hvad er fordelen ved dette? Hvad er overskuddet? Selvfølgelig er der et overskud, men vi vil tale om det lidt senere, i de følgende artikler. Det var alt for i dag, mine herrer. Tak fordi du læste med og farvel!

Deltag i vores

Fra et kundebrev:
Fortæl mig, for guds skyld, hvorfor UPS'ens effekt er angivet i volt-ampere og ikke i de sædvanlige kilowatt. Det er meget stressende. Alle har trods alt længe været vant til kilowatt. Og effekten af ​​alle enheder er hovedsageligt angivet i kW.
Alexei. 21. juni 2007

I tekniske specifikationer af enhver UPS er den samlede effekt [kVA] og aktiv effekt [kW] angivet - de karakteriserer UPS'ens belastningskapacitet. Eksempel, se billeder nedenfor:

Effekten af ​​ikke alle enheder er angivet i W, for eksempel:

• Transformatorernes effekt er angivet i VA:
  http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (TP-transformatorer: se appendiks)
  http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL transformere: se bilag)
• Kondensatoreffekt er angivet i Vars:
  http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensatorer K78-39: se bilag)
  http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (UK kondensatorer: se appendiks)
• For eksempler på andre belastninger, se nedenstående bilag.

Belastningens effektkarakteristika kan kun specificeres præcist af en enkelt parameter (aktiv effekt i W) for tilfældet jævnstrøm, da der i et DC-kredsløb kun er én type modstand - aktiv modstand.

Belastningens effektkarakteristika i tilfælde af vekselstrøm kan ikke specificeres nøjagtigt af en enkelt parameter, da der er to forskellige typer modstand – aktiv og reaktiv. Derfor kun to parametre: aktiv effekt og reaktiv effekt karakteriserer belastningen nøjagtigt.

Driftsprincipperne for aktiv og reaktiv modstand er helt forskellige. Aktiv modstand – transformeres irreversibelt elektrisk energi ind i andre typer energi (termisk, lys osv.) - eksempler: glødelampe, elektrisk varmelegeme (afsnit 39, Fysik klasse 11 V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Reaktans - skiftevis akkumulerer energi og frigiver den derefter tilbage til netværket - eksempler: kondensator, induktor (afsnit 40,41, Fysik 11. klasse V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Yderligere i enhver lærebog om elektroteknik kan du læse, at aktiv effekt (dissiperet af aktiv modstand) måles i watt, og reaktiv effekt (cirkulerer gennem reaktans) måles i vars; For at karakterisere belastningseffekten bruges yderligere to parametre: tilsyneladende effekt og effektfaktor. Alle disse 4 parametre:

1. Aktiv kraft: betegnelse P, måleenhed: Watt
2. Reaktiv effekt: betegnelse Q, måleenhed: VAR(Volt Ampere reaktiv)
3. Tilsyneladende magt: betegnelse S, måleenhed: VA(Volt Ampere)
4. Effektfaktor: symbol k eller cosФ, måleenhed: dimensionsløs mængde

Disse parametre er relateret af relationerne: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Også cosФ kaldet effektfaktor ( Magtfaktor – PF)

Derfor er to af disse parametre i elektroteknik specificeret til at karakterisere effekt, da resten kan findes fra disse to.

For eksempel elektriske motorer, lamper (udladning) - i de. data angivet P[kW] og cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (AIR-motorer: se appendiks)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 ( DRL lamper: se vedhæftet fil)
(for eksempler på tekniske data for forskellige belastninger, se appendiks nedenfor)

Det er det samme med strømforsyninger. Deres effekt (belastningskapacitet) er kendetegnet ved en parameter for DC-strømforsyninger - aktiv effekt (W) og to parametre for kilder. AC strømforsyning. Typisk er disse to parametre tilsyneladende effekt (VA) og aktiv effekt (W). Se f.eks. parametrene for dieselgeneratorsættet og UPS'en.

De fleste kontor og husholdningsapparater, aktiv (ingen eller lille reaktans), derfor er deres effekt angivet i watt. I dette tilfælde, når belastningen beregnes, bruges UPS-effektværdien i watt. Hvis belastningen er computere med strømforsyninger (PSU'er) uden input power factor correction (APFC), laser printer, køleskab, klimaanlæg, elmotor (for eksempel en dykpumpe eller en motor som en del af en maskine), fluorescerende ballastlamper osv. - alle udgange bruges i beregningen. UPS-data: kVA, kW, overbelastningskarakteristika osv.

Se f.eks. lærebøger om elektroteknik:

1. Evdokimov F. E. Teoretisk grundlag Elektroteknik. - M.: Forlagscenter "Academy", 2004.

2. Nemtsov M.V. Elektroteknik og elektronik. - M.: Forlagscenter "Academy", 2007.

3. Chastoedov L. A. Elektroteknik. - M.: Højere skole, 1989.

Se også vekselstrøm, effektfaktor, elektrisk modstand, reaktans http://en.wikipedia.org
(oversættelse: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Ansøgning

Eksempel 1: kraften af ​​transformere og autotransformatorer er angivet i VA (Volt Amperes)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL transformere)

Enfasede autotransformere
TDGC2-0,5 kVa, 2A		AOSN-2-220-82
TDGC2-1,0 kVa, 4A	Latr 1,25	AOSN-4-220-82
TDGC2-2,0 kVa, 8A	Latr 2.5	AOSN-8-220-82
TDGC2-3,0 kVa, 12A
TDGC2-4,0 kVa, 16A
TDGC2-5,0 kVa, 20A		AOSN-20-220
TDGC2-7,0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		AOMN-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (LATR / laboratorie autotransformere TDGC2)

Eksempel 2: kondensatorernes effekt er angivet i VAR (Volt Amperes reactive)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensatorer K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (UK kondensatorer)

Eksempel 3: Tekniske data for elektriske motorer indeholder aktiv effekt (kW) og cosF

For belastninger såsom elektriske motorer, lamper (afladning), computerblokke strømforsyninger, kombinerede belastninger osv. - de tekniske data angiver P [kW] og cosФ (aktiv effekt og effektfaktor) eller S [kVA] og cosФ ( fuld kraft og effektfaktor).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(kombineret belastning – stål plasmaskæremaskine / Inverter Plasma cutter LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (PC-strømforsyning)

Bilag 1

Hvis belastningen har høj koefficient effekt (0,8 ... 1,0), så nærmer dens egenskaber sig ved en aktiv belastning. En sådan belastning er ideel både til netværkslinjen og til strømkilder, fordi genererer ikke reaktive strømme og kræfter i systemet.

Derfor har mange lande vedtaget standarder, der regulerer udstyrs effektfaktor.

Tillæg 2

Enkeltbelastningsudstyr (f.eks. en pc-strømforsyningsenhed) og multikomponent kombineret udstyr (f.eks. en industriel fræsemaskine indeholdende flere motorer, en pc, belysning osv.) har lave effektfaktorer (mindre end 0,8) interne enheder (for eksempel en pc-strømforsyningsensretter eller en elektrisk motor har effektfaktor 0,6 .. 0,8). Derfor har det meste udstyr i dag en inputenhed til effektfaktorkorrektion. I dette tilfælde er indgangseffektfaktoren 0,9 ... 1,0, hvilket svarer til regulatoriske standarder.

Tillæg 3. Vigtig note i forhold til UPS'ens effektfaktor og spændingsstabilisatorer

Belastningskapaciteten for UPS'en og dieselgeneratorsættet er normaliseret til en standard industriel belastning (effektfaktor 0,8 med en induktiv karakter). For eksempel UPS 100 kVA / 80 kW. Dette betyder, at enheden kan drive en resistiv belastning maksimal effekt 80 kW, eller blandet (reaktiv-reaktiv) belastning med maksimal effekt 100 kVA med en induktiv effektfaktor på 0,8.

Med spændingsstabilisatorer er situationen anderledes. For stabilisatoren er belastningsfaktoren ligegyldig. For eksempel en 100 kVA spændingsstabilisator. Det betyder, at enheden kan levere en aktiv belastning med en maksimal effekt på 100 kW, eller enhver anden (rent aktiv, rent reaktiv, blandet) effekt på 100 kVA eller 100 kVAr med en hvilken som helst effektfaktor af kapacitiv eller induktiv karakter. Bemærk, at dette gælder for en lineær belastning (uden højere harmoniske strømme). I det store hele harmonisk forvrængning belastningsstrøm (høj THD) udgangseffekt stabilisator falder.

Tillæg 4

Illustrative eksempler på rene aktive og rene reaktive belastninger:

• En 100 W glødelampe er forbundet til et vekselstrømsnetværk på 220 VAC - overalt i kredsløbet er der ledningsstrøm (gennem ledningslederne og lampens wolframglødetråd). Belastnings (lampe) karakteristika: effekt S=P~=100 VA=100 W, PF=1 => alle elektrisk strøm aktiv, hvilket betyder, at den optages fuldstændigt i lampen og omdannes til varme- og lyskraft.
• En 7 µF ikke-polær kondensator er forbundet til et vekselstrømsnetværk på 220 VAC - der er en ledningsstrøm i ledningskredsløbet, og en forspændingsstrøm flyder inde i kondensatoren (gennem dielektrikumet). Karakteristika for belastningen (kondensator): effekt S=Q~=100 VA=100 VAr, PF=0 => al elektrisk effekt er reaktiv, hvilket betyder, at den konstant cirkulerer fra kilden til belastningen og tilbage, igen til belastningen, etc.

Tillæg 5

For at angive den overvejende reaktans (induktiv eller kapacitiv) tildeles effektfaktoren tegnet:

+ (plus)– hvis den samlede reaktans er induktiv (eksempel: PF=+0,5). Den aktuelle fase halter efter spændingsfasen med en vinkel Ф.

- (minus)– hvis den samlede reaktans er kapacitiv (eksempel: PF=-0,5). Den aktuelle fase fremrykker spændingsfasen med vinkel F.

Bilag 6

Yderligere spørgsmål

Spørgsmål 1:
Hvorfor bruger alle elektrotekniske lærebøger, når de beregner AC-kredsløb, imaginære tal/mængder (f.eks. reaktiv effekt, reaktans osv.), som ikke eksisterer i virkeligheden?

Svar:
Ja, alle individuelle mængder i den omgivende verden er virkelige. Herunder temperatur, reaktans mv. Brugen af ​​imaginære (komplekse) tal er kun en matematisk teknik, der letter beregninger. Resultatet af beregningen er nødvendigvis et reelt tal. Eksempel: reaktiv effekt af en belastning (kondensator) på 20 kVAr er en reel energistrøm, det vil sige reelle watt, der cirkulerer i kildebelastningskredsløbet. Men for at skelne disse Watts fra Watts uigenkaldeligt absorberet af belastningen, besluttede de at kalde disse "cirkulerende Watts" reaktive Volt Ampere.

Kommentar:
Tidligere brugte man kun enkelte størrelser i fysikken, og ved beregningen svarede alle matematiske størrelser til omverdenens reelle størrelser. For eksempel er afstand lig med hastighed gange tid (S=v*t). Derefter, med udviklingen af ​​fysik, det vil sige, efterhånden som mere komplekse objekter studeres (lys, bølger, alternerende elektricitet, atom, rum osv.) sådan noget dukkede op et stort antal af fysiske mængder at det blev umuligt at tælle hver enkelt for sig. Dette er ikke kun et problem manuel beregning, men også problemet med at kompilere computerprogrammer. For løsninger givet opgave Nære enkeltmængder begyndte at blive kombineret til mere komplekse (inklusive 2 eller flere enkeltmængder), underlagt transformationslove kendt i matematik. Sådan opstod skalære (enkeltlige) størrelser (temperatur osv.), vektor og komplekse dobbelte størrelser (impedans osv.), tredobbelte vektormængder (vektor) magnetfelt osv.), og mere komplekse størrelser - matricer og tensorer (dielektrisk konstant tensor, Ricci tensor osv.). For at forenkle beregninger i elektroteknik anvendes følgende imaginære (komplekse) dobbelte størrelser:

1. Total modstand (impedans) Z=R+iX
2. Tilsyneladende effekt S=P+iQ
3. Dielektrisk konstant e=e"+ie"
4. Magnetisk permeabilitet m=m"+im"
5. og osv.

Spørgsmål 2:

Siden http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power viser S P Q Ф på et komplekst, det vil sige imaginært/ikke-eksisterende plan. Hvad har alt dette med virkeligheden at gøre?

Svar:
Det er vanskeligt at udføre beregninger med rigtige sinusoider, derfor, for at forenkle beregningerne, brug en vektor (kompleks) repræsentation som i fig. højere. Men det betyder ikke, at S P Q vist i figuren ikke er relateret til virkeligheden. Reelle værdier af S P Q kan præsenteres i den sædvanlige form, baseret på målinger af sinusformede signaler med et oscilloskop. Værdierne for S P Q Ф I U i vekselstrømkredsløbet "kildebelastning" afhænger af belastningen. Nedenfor er et eksempel på reelle sinusformede signaler S P Q og Ф i tilfælde af en belastning bestående af aktive og reaktive (induktive) modstande forbundet i serie.

Spørgsmål 3:
Ved hjælp af en konventionel strømtang og et multimeter blev der målt en belastningsstrøm på 10 A og en belastningsspænding på 225 V. Vi multiplicerer og får belastningseffekten i W: 10 A · 225V = 2250 W.

Svar:
Du har opnået (udregnet) den samlede belastningseffekt på 2250 VA. Derfor vil dit svar kun være gyldigt, hvis din belastning er rent resistiv, så er Volt Ampere faktisk lig med Watt. For alle andre typer belastninger (for eksempel en elektrisk motor) - nej. For at måle alle karakteristika for enhver vilkårlig belastning skal du bruge en netværksanalysator, for eksempel APPA137:

Se yderligere læsning, for eksempel:

Evdokimov F. E. Teoretisk grundlag for elektroteknik. - M.: Forlagscenter "Academy", 2004.

Nemtsov M.V. Elektroteknik og elektronik. - M.: Forlagscenter "Academy", 2007.

Chastoedov L. A. Elektroteknik. - M.: Højere skole, 1989.

Vekselstrøm, Effektfaktor, Elektrisk modstand, Reaktans
http://en.wikipedia.org (oversættelse: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Teori og beregning af laveffekttransformatorer Yu.N. Starodubtsev / RadioSoft Moscow 2005 / rev d25d5r4feb2013

Formler	Betegnelse og måleenheder
Ohms lov for en DC-kredsløbssektion
1. Spænding på kredsløbssektionen, V U=IR	I er den aktuelle styrke i dette afsnit, A; R - modstand af kredsløbssektionen, Ohm; U er spændingen på kredsløbssektionen, V;
2. Strøm i kredsløbssektionen, A I=U/R
3. Modstand i en sektion af kredsløbet, Ohm R=U/I
4. Ledermodstand mod jævnstrøm, Ohm R 0 =ρ	ρ - resistivitet, 10-6 Ohm∙m; l - længde, m; S - sektion, mm 2;
5. Afhængighed af lederens aktive modstand af temperatur R=R 1 ∙	R, R1 - ledermodstand, henholdsvis ved temperaturer t og t 1,0 C, Ohm; α - temperaturkoefficient, 1/0 C;
6. Generel modstand elektriske kredsløb på seriel forbindelse modstand R=R1+R2+R3+…+R n	R- total modstand kredsløb, Ohm; R1, R2, R3 …Rn - modstand af n modstande, Ohm;
7. Kredsløbsmodstand på to parallelle modstande R=R1∙R2/R1+R2
	C er den samlede kapacitans af kondensatorerne, H; C 1 , C 2 , C 3 ... Cn - kapacitet af individuelle kredsløbskondensatorer, Gn;
10. DC effekt, W P=UI=I 2 R=U 2 /R	I - strømstyrke i kredsløbet, A; U er spændingen i kredsløbet, V; R - modstand, Ohm;
11. Elektrisk kredsløbsenergi, J W=Pt	P - effekt i kredsløbet, W; t - tid, s;
12. Termisk effekt A=0,24∙I 2 ∙R∙t= 0,24∙U∙I∙t	A - mængde genereret varme, kal; t - nuværende strømningstid; R - modstand, Ohm;
Ohms lov med vekselstrøm
13. Strøm, A I=U/Z	I - strøm, A; U - spænding, V; Z- impedans i et kredsløb, Ohm; - induktiv reaktans kredsløb, Ohm; Z= = X L =ωL – kredsløbets induktive reaktans, Ohm X C =1/ωC – kredsløbets kapacitive reaktans, Ohm ω – netværkets vinkelfrekvens, s -1 ; f - vekselstrømsfrekvens, Hz; L - induktans, H; C - kapacitet, F;
14. Spænding, W U=I∙Z
15. Kirchhoffs lov for en knude (1. lov): for en lukket sløjfe (2. lov): E= =	I i - strømme i individuelle grene af kredsløbet, der konvergerer på et punkt, A i=(1,2,3,...); E - EMF, der virker i kredsløbet, V; U er spændingen på kredsløbssektionen, V; Z er den samlede modstand af sektionen, Ohm;
16. Strømfordeling i to parallelle grene af et vekselstrømkredsløb I 1 / I 2 = Z 2 / Z 1	I 1 - strøm af det første kredsløb, A; I 2 - strøm af det andet kredsløb, A; Z 1 - modstand af den første gren, Ohm; Z 2 - modstand af den anden gren, Ohm;
17. Impedans, Ohm Z=	R - aktiv modstand, Ohm; X L - induktiv reaktans, Ohm; X C - kapacitans, Ohm;
18. Reaktiv (induktiv) reaktans, Ohm X L =ωL=2 ∙f∙L	ω - vinkelfrekvens, rad/s; f - oscillationsfrekvens, Hz; L - induktans, H; C - kapacitet, F; X - total reaktans, Ohm;
19. Reaktiv (kapacitiv) modstand, Ohm X C =1/ωL= 1/2 ∙f∙L
20. Total reaktans X= X L - X C
21. Spolinduktans, H, uden stålkerne: L= 10 -8 med stålkerne: L= μ 10 -8	n er antallet af spolevindinger; S er arealet af det gennemsnitlige tværsnit af viklingen, der udgør spolen, cm 2; l - spole længde, cm; μ - magnetisk permeabilitet af kernematerialet, Gn/m;
22. Lov om elektromagnetisk induktion for sinusformet strøm E= 4,44∙f∙ω∙B∙S∙10 -4	E - induceret emk, V; f - frekvens, Hz; ω - antal viklingsdrejninger; B - magnetisk induktion, T; S - tværsnit af det magnetiske kredsløb, cm 2;
23. Elektrodynamisk effekt af strøm for to parallelle ledere F=I m 1 ∙ I m 2 ∙ ∙10 -7	F er kraften, der virker på lederne, N; Jeg er 1, jeg er 2 - amplitudeværdier strømme ind parallelle ledere, A; l - lederlængde, cm; α - afstand mellem ledere, cm;
24. Afhængigheder for et vekselstrømskredsløb: strøm i kredsløbet: I= I R =I∙cosω I X =I∙ sinω spænding i kredsløbet: U= U R =U∙ cosω U X =U∙ sinω	I - strøm i kredsløbet, A; I R - aktiv strømkomponent, A; I X - reaktiv komponent af strøm, A; U er spændingen i kredsløbet, V; U R - aktiv spændingskomponent, V; U X - reaktiv spændingskomponent, V;
25. Forholdet mellem strømme og spændinger i et trefasesystem a) stjerneforbindelse: I L =I F, U L =1,73∙U F; b) "trekant" forbindelse: U L = U F, I L =1,73∙I F;	I L - lineær strøm, A; I Ф - fasestrøm, A; U L - lineær spænding, V; U Ф - fasespænding, V;
26. Effektfaktor cos	P - reaktiv effekt, W; S - total effekt, V∙A; R - aktiv modstand, Ohm; Z - total modstand, Ohm;
27. Effekt og strømenergi i et vekselstrømkredsløb a) enfaset strømkredsløb: P=I∙U∙ cos , Q=I∙U∙sin , S=IU= ; W R =I∙U∙ cos ∙t; W X = I∙U∙sin ∙t; b) trefaset strømkredsløb: P= ∙I∙U∙ cos ; Q= ∙I∙U∙sin ; W R = ∙I∙U∙ cos ∙t; W X = ∙I∙U∙sin ∙t;	Q - reaktiv effekt, var; W R - aktiv energi, Wh; W X - reaktiv energi, var∙h; t - tidspunkt for strømmen, h; S - total effekt, V∙A;
28. Kondensatorens reaktive effekt, Var Q C =U 2 ∙ω∙C=U 2 ∙2П∙f∙C, hvor kondensatoren, F C=	I C - strøm, der løber gennem kondensatoren, A; U er spændingen påført til kondensatoren, V;
29. Synkron rotationshastighed for en elektrisk maskine, rpm n=	f - strømforsyningsfrekvens, Hz; p - antal maskinpolpar;
30. Drejningsmoment på en elektrisk maskine, N∙m M=9,555∙	P - effekt, W; n - rotationshastighed, rpm;

Bilag 13

Beregning af komplekse elektriske kredsløb

Komplekse elektriske kredsløb kan indeholde flere lukkede sløjfer med enhver placering af energikilder og forbrugere. Derfor kan sådanne komplekse kredsløb ikke reduceres til en kombination af serie- og parallelforbindelser.

Ved hjælp af Ohms og Kirchhoffs love kan man finde fordelingen af ​​strømme og spændinger i alle sektioner af ethvert komplekst kredsløb.

En af metoderne til at beregne komplekse elektriske kredsløb er den nuværende superpositionsmetode, hvis essens er, at strømmen i enhver gren er den algebraiske sum af de strømme, der skabes i den af ​​hver af EMF kredsløb separat. I fig. viser et kredsløb indeholdende tre kilder med EMF E 1 , E 2 , E 3 og fire serieforbundne modstande R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Hvis vi forsømmer den indre modstand af energikilderne, så den samlede modstand af kredsløbet R=R 1 +R 2 +R 3 +R 4 . Lad os først antage, at emk af den første kilde E 1 ≠ 0, og den anden og tredje E 2 = 0 og E 3 = 0. Så sætter vi E 2 ≠ 0, og E 1 = 0 og E 3 = 0. Og endelig antager vi E 3 ≠ 0, og E 1 = 0 og E 2 = 0. I det første tilfælde falder strømmen i kredsløbet sammen i retning med EMF E 1 , er lige jeg 1 = E 1 /R; i det andet tilfælde falder strømmen i kredsløbet sammen i retning med EMF E 2, lige med jeg 2 = E 2 /R; i det tredje tilfælde er strømmen ens jeg 3 = E 3 / R og falder sammen i retning med EMF E 3. Siden EMF E 1 Og E 3 falder sammen i retning i kredsløbet, derefter strømmene jeg 1 Og jeg 3 også sammenfaldende, og den nuværende jeg 2 har modsatte retning, siden EMF E 2 rettet mod emf E 1 Og E 3 . Derfor er strømmen i kredsløbet lig med

jeg = jeg 1 – jeg 2 + jeg 3 = E 1 / R – E 2 / R + E 3 / R =

= (E 1 – E 2 + E 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 ).

Elektrisk kredsløb med tre energikilder

Retning på enhver del af kæden, for eksempel mellem punkter EN Og b,lige med Uab = IR 4 .

Ved beregning af komplekse kredsløb, for at bestemme strømmene i alle grene af kredsløbet, er det nødvendigt at kende grenenes modstand samt værdien og retningen af ​​alle EMF'er.

Før du opstiller ligninger i henhold til Kirchhoffs love, bør du vilkårligt indstille retningerne af strømmene i grenene, og vise dem på diagrammet med pile. Hvis den faktiske retning af strømmen i en hvilken som helst gren er modsat den valgte, vil denne strøm vise sig med tegnet "-" efter at have løst ligningerne. Antallet af nødvendige ligninger er lig med antallet af ukendte strømme, og antallet af ligninger kompileret efter Kirchhoffs første lov skal være én mindre end antallet af noder i kredsløbet; de resterende ligninger er kompileret efter Kirchhoffs anden lov, og de fleste simple konturer og således at hver af dem indeholder mindst én gren, der ikke var inkluderet i de tidligere kompilerede ligninger.

Lad os overveje beregningen af ​​et komplekst kredsløb ved hjælp af ligninger i henhold til Kirchhoffs love ved at bruge eksemplet med to parallelforbundne kilder lukket for modstand. Lad emk af kilderne E 1 = E 2 =120B, dem indre modstande R 1 = 3 ohm og R 2 = 6 Ohm, belastningsmodstand R= 18 Ohm.

Da antallet af ukendte strømme er 3, er det nødvendigt at lave tre ligninger. Med to knudepunkter kræves en knudeligning ifølge Kirchhoffs første lov: jeg = jeg 1 + jeg 2 . Vi skriver den anden ligning, når vi går rundt i kredsløbet bestående af den første kilde og belastningsmodstanden: E 1 = jeg 1 R 1 + IR. Lad os skrive den tredje ligning på samme måde: E 2 = jeg 2 R 2 + IR. Erstatning numeriske værdier, får vi 120 V = 3 jeg 1 + 18jeg og 120 V = 6 jeg 2 + 18jeg. Fordi E 1 – E 2 = jeg 1 R 1 – jeg 2 R 2 = 3jeg 1 – 6jeg 2 = 0, så jeg 1 = 2jeg 2 Og jeg = 3jeg 2 . At erstatte disse værdier i udtrykket for emf E 1 , får vi 120 =

2jeg 2 × 3 + 18 × 3jeg 2 = 60jeg 2 , hvor jeg 2 = 120/60 = 2A, jeg 1 = 2jeg 2 = 4A, jeg = jeg 1 ++ jeg 2 = 6A.

I komplekse elektriske kredsløb med to noder EN Og b og bestående af flere parallelforbundne energikilder, der opererer ved en fælles modtager, er det praktisk at bruge nodalspændingsmetoden. Efter at have udpeget potentialerne ved knudepunkterne φa – φb, kan spændingen mellem disse punkter U udtrykkes ved forskellen mellem disse potentialer, dvs.

U = φa – φb.

EN b

Skema til beregning af et komplekst elektrisk kredsløb:

a – ved brug af nodal stress-metoden;

b – ved hjælp af sløjfestrømmetoden

Tager den positive retning af EMF og strømme i grenene fra knudepunktet, EN til noden b for hver af grenene kan vi skrive følgende ligheder: jeg 1 = (φa – φb – E 1 )/

/ R 1 = (U – E 1 )g 1 ; jeg 2 = (φa – φb – E 2 ) / R 2 = (U – E 2 )g 2 ; jeg 3 = (φa – φb – E 3 ) / / R 3 = (U – E 3 )g 3; jeg= (φa – φb) / R = Ug .

Baseret på Kirchhoffs første lov for det knudepunkt, vi har jeg 1 + jeg 2 + + jeg 3 +jeg= 0. Erstat de aktuelle værdier i denne sum og find

(U – E 1 )g 1 + (U + E 2 )g 2 + (U – E 3 )g 3 + Ug = 0,

U = (E 1 g 1 – E 2 g 2 + E 3 g 3 ) / (g 1 + g 2 + g 3 + g) =

= f.eks / Σ g,

de der. nodalspændingen er lig med den algebraiske sum af produkterne af emk og ledningsevnerne af alle parallelle grene, divideret med summen af ​​ledningsevnerne af alle grene. Ved at beregne knudespændingen ved hjælp af denne formel og bruge udtrykkene for bindingerne i grenene, er det let at bestemme disse strømme.

For at bestemme strømme i komplekse kredsløb, der indeholder flere noder og emk, anvendes sløjfestrømmetoden. Hvilket gør det muligt at reducere antallet af ligninger, der skal løses. Det antages, at i de grene, der er en del af to tilstødende kredsløb, strømmer to kredsløbsstrømme, hvoraf den første repræsenterer strømmen af ​​et af de tilstødende kredsløb, og den anden - strømmen af ​​det andet kredsløb. Den faktiske strøm i den del af kredsløbet, der overvejes, bestemmes af summen eller forskellen af ​​disse to strømme, afhængigt af den indbyrdes relative retning.

Ved brug af sløjfestrømmetoden opstilles ligninger baseret på summen af ​​de modstande, der er en del af en given sløjfe, og summen af ​​de modstande, der er en del af grenen fælles for tilstødende sløjfer. Den første sum er for eksempel konventionelt betegnet med et dobbeltindeks R 11 , R 22 osv., og den anden - et indeks, der indeholder antallet af kredsløb, for hvilke denne del af kredsløbet er fælles, f.eks. R 12 , R 13 etc.