Instruktioner

Når man udfører empirisk forskning, er man ofte nødt til at forholde sig til et sæt værdier opnået ved tilfældig stikprøve. Ud fra denne række af værdier er det nødvendigt at konstruere en graf over en funktion, hvori de andre opnåede værdier passer med maksimal nøjagtighed. Denne metode, eller rettere løsningen på dette problem, er tilnærmelsen af ​​en kurve, dvs. udskiftning af nogle objekter eller fænomener med andre, der er tæt på i den oprindelige parameter. Interpolation er til gengæld en form for tilnærmelse. Kurveinterpolation er den proces, hvor kurven for en konstrueret funktion passerer gennem de tilgængelige datapunkter.

Der er et problem meget tæt på interpolation, hvis essens vil være at tilnærme originalen kompleks funktion en anden meget enklere funktion. Hvis en separat funktion er meget svær at beregne, så kan du prøve at beregne dens værdi på flere punkter, og baseret på de opnåede resultater konstruere (interpolere) mere enkel funktion. Den forenklede funktion vil dog ikke give data så nøjagtige og pålidelige som den oprindelige funktion.

Interpolation via algebraisk binomial eller lineær interpolation
I generel opfattelse: Interpolation af en given funktion f(x) finder sted, idet der tages en værdi i punkterne x0 og x1 i segmentet med det algebraiske binomiale P1(x) = ax + b. Hvis mere end to funktionsværdier er angivet, erstattes den ønskede lineære funktion af en lineær-stykkevis funktion, hver del af funktionen ligger mellem to specificerede funktionsværdier på disse punkter på det interpolerede segment.

Finite difference interpolation
Denne metode er en af ​​de enkleste og mest udbredte metoder til interpolation. Dens essens er at erstatte ligningens differentialkoefficienter med differenskoefficienter. Denne handling fører dig til løsningen differentialligning ved sin differensanalog, med andre ord at konstruere dens endelige differensskema

Konstruktion af en splinefunktion
I matematisk modellering er en spline en stykkevis given funktion, der med funktioner, der har en enklere på hvert element i partitionen, har sit definitionsdomæne. En spline af en variabel konstrueres ved at opdele definitionsdomænet i endeligt nummer segmenter, og på hver af hvilke spline vil falde sammen med et eller andet algebraisk polynomium. Den maksimale grad, der anvendes, er spline.
Spline-funktioner til at definere og beskrive overflader i forskellige systemer computermodellering.

Mange af os er stødt på uforståelige termer i forskellige videnskaber. Men der er meget få mennesker, der ikke bliver skræmt af uforståelige ord, men tværtimod opmuntrer dem og tvinger dem til at gå dybere ind i det emne, de studerer. I dag vil vi tale om sådan noget som interpolation. Dette er en metode til at konstruere grafer ved hjælp af kendte punkter, der tillader, med en minimal mængde information om en funktion, at forudsige dens adfærd på specifikke sektioner af kurven.

Før vi går videre til essensen af ​​selve definitionen og taler om det mere detaljeret, lad os dykke lidt dybere ned i historien.

Historie

Interpolation har været kendt siden oldtiden. Imidlertid skylder dette fænomen sin udvikling til flere af fortidens mest fremragende matematikere: Newton, Leibniz og Gregory. Det var dem, der udviklede dette koncept ved hjælp af mere avancerede matematiske teknikker, der var tilgængelige på det tidspunkt. Før dette blev interpolation selvfølgelig anvendt og brugt i beregninger, men de gjorde det på fuldstændig unøjagtige måder, der krævede stor mængde data til at bygge en model mere eller mindre tæt på virkeligheden.

I dag kan vi endda vælge, hvilken interpolationsmetode der er bedst egnet. Alt er blevet oversat til computersprog, som med stor nøjagtighed kan forudsige adfærden af ​​en funktion i et bestemt område begrænset af kendte punkter.

Interpolation er et ret snævert begreb, så dets historie er ikke så rig på fakta. I det næste afsnit vil vi finde ud af, hvad interpolation faktisk er, og hvordan det adskiller sig fra dets modsætning - ekstrapolation.

Hvad er interpolation?

Som vi allerede har sagt, er dette det generelle navn for metoder, der giver dig mulighed for at bygge en graf efter point. I skolen gøres dette hovedsageligt ved at tegne en tabel, identificere punkter på en graf og groft tegne linjer, der forbinder dem. Sidste handling sker ud fra overvejelser om ligheden af ​​den undersøgte funktion med andre, hvis type grafer er kendt af os.

Der er dog andre, mere komplekse og nøjagtige måder fuldføre opgaven med at konstruere en punkt-for-punkt graf. Så interpolation er faktisk en "forudsigelse" af adfærden af ​​en funktion i et specifikt område begrænset af kendte punkter.

Der er et lignende koncept forbundet med det samme område - ekstrapolering. Det repræsenterer også en forudsigelse af grafen for en funktion, men ud over de kendte punkter på grafen. Med denne metode laves en forudsigelse baseret på en funktions adfærd over et kendt interval, og derefter anvendes denne funktion på det ukendte interval. Denne metode er meget praktisk til praktisk ansøgning og bruges aktivt i fx økonomi til at forudsige op- og nedture i markedet og til at forudsige den demografiske situation i landet.

Men vi har bevæget os væk fra hovedemnet. I det næste afsnit vil vi finde ud af, hvilken interpolation der sker, og hvilke formler der kan bruges til at udføre denne operation.

Typer af interpolation

For det meste enkel udsigt er interpolation ved hjælp af den nærmeste nabo-metode. Ved hjælp af denne metode får vi en meget grov graf bestående af rektangler. Hvis du nogensinde har set en forklaring geometrisk betydning integral på grafen, så vil du forstå, hvilken slags grafisk form vi taler om.

Derudover er der andre interpolationsmetoder. De mest berømte og populære er relateret til polynomier. De er mere nøjagtige og giver dig mulighed for at forudsige opførselen af ​​en funktion med et ret sparsomt sæt værdier. Den første interpolationsmetode, vi vil se på, er lineær polynomiel interpolation. Dette er den enkleste metode i denne kategori, og sandsynligvis har I hver især brugt den i skolen. Dens essens er at konstruere lige linjer mellem kendte punkter. Som du ved, passerer en enkelt lige linje gennem to punkter på et plan, hvis ligning kan findes baseret på koordinaterne for disse punkter. Efter at have konstrueret disse rette linjer får vi en brudt graf, som i det mindste, men afspejler de omtrentlige værdier af funktionerne og i generelle oversigt matcher virkeligheden. Sådan udføres lineær interpolation.

Avancerede typer interpolation

Der er en mere interessant, men samtidig mere på den hårde måde interpolation. Det blev opfundet af den franske matematiker Joseph Louis Lagrange. Det er derfor, beregningen af ​​interpolation ved hjælp af denne metode er opkaldt efter den: interpolation ved hjælp af Lagrange-metoden. Tricket her er dette: hvis metoden skitseret i forrige afsnit, bruges kun til beregning lineær funktion, så involverer udvidelsen ved Lagrange-metoden også brugen af ​​polynomier mere høje grader. Men det er ikke så nemt at finde selve interpolationsformlerne til forskellige funktioner. Og jo flere punkter man kender, jo mere nøjagtig er interpolationsformlen. Men der er mange andre metoder.

Der findes en mere avanceret beregningsmetode, der er tættere på virkeligheden. Interpolationsformlen, der bruges i den, er et sæt polynomier, hvor anvendelsen af ​​hver af dem afhænger af funktionens sektion. Denne metode kaldes en spline-funktion. Derudover er der også måder at gøre sådan noget som at interpolere funktioner af to variable. Der er kun to metoder. Blandt dem er bilineær eller dobbelt interpolation. Denne metode giver dig mulighed for nemt at bygge en graf ved hjælp af punkter i tredimensionelt rum. Vi vil ikke komme ind på andre metoder. Generelt er interpolation et universelt navn for alle disse metoder til at konstruere grafer, men de mange måder, hvorpå denne handling kan udføres, tvinger os til at opdele dem i grupper afhængigt af den type funktion, der er underlagt denne handling. Det vil sige, at interpolation, et eksempel, som vi så på ovenfor, refererer til direkte metoder. Der er også invers interpolation, som adskiller sig ved, at det giver dig mulighed for at beregne ikke direkte, men omvendt funktion(det vil sige x fra y). Overveje nyeste muligheder det vil vi ikke, da det er ret kompliceret og kræver godt matematisk grundlag viden.

Lad os gå videre til måske en af de vigtigste afsnit. Ud fra det lærer vi, hvordan og hvor det sæt af metoder, vi diskuterer, anvendes i livet.

Ansøgning

Matematik er som bekendt videnskabernes dronning. Derfor, selvom du først ikke kan se meningen med visse operationer, betyder det ikke, at de er ubrugelige. For eksempel ser det ud til, at interpolation er en ubrugelig ting, ved hjælp af hvilken der kun kan bygges grafer, hvilket de færreste har brug for nu. Men for alle beregninger inden for teknologi, fysik og mange andre videnskaber (for eksempel biologi) er det ekstremt vigtigt at præsentere et ret komplet billede af fænomenet, samtidig med at man har et bestemt værdisæt. Værdierne i sig selv, spredt over grafen, giver ikke altid en klar idé om funktionsadfærden i et specifikt område, værdierne af dens afledte og skæringspunkter med akserne. Og dette er meget vigtigt for mange områder af vores liv.

Hvordan vil dette være nyttigt i livet?

Et spørgsmål som dette kan være meget svært at besvare. Men svaret er enkelt: ingen måde. Denne viden vil ikke være til nogen nytte for dig. Men hvis du forstår dette materiale og de metoder, hvormed disse handlinger udføres, vil du træne din logik, som vil være meget nyttig i livet. Det vigtigste er ikke selve viden, men de færdigheder, som en person tilegner sig i processen med at studere. Det er ikke for ingenting, at der er et ordsprog, der siger: "Lev for evigt, lær for evigt."

Relaterede begreber

Du kan selv forstå, hvor vigtigt dette område af matematik var (og stadig er) ved at se på de mange andre begreber, der er forbundet med det. Vi har allerede talt om ekstrapolering, men der er også tilnærmelse. Måske har du allerede hørt dette ord. Under alle omstændigheder diskuterede vi også, hvad det betyder i denne artikel. Approksimation er ligesom interpolation begreber relateret til konstruktionen af ​​grafer over funktioner. Men forskellen mellem den første og den anden er, at det er en omtrentlig konstruktion af en graf baseret på lignende kendte grafer. Disse to koncepter minder meget om hinanden, hvilket gør det endnu mere interessant at studere hver af dem.

Konklusion

Matematik er ikke så kompliceret en videnskab, som det ser ud til ved første øjekast. Hun er ret interessant. Og i denne artikel forsøgte vi at bevise det for dig. Vi så på begreber relateret til plotning, lærte hvad dobbeltinterpolation er og så på eksempler, hvor det bruges.

Der er en situation, hvor du har brug for at finde mellemresultater i en række kendte værdier. I matematik kaldes dette interpolation. I Excel givet Metoden kan bruges både til tabeldata og til at plotte grafer. Lad os se på hver af disse metoder.

Hovedbetingelsen, hvorunder interpolation kan anvendes, er, at den ønskede værdi skal være inden for dataarrayet og ikke uden for dets grænse. For eksempel, hvis vi har et sæt af argumenter 15, 21 og 29, så kan vi bruge interpolation til at finde funktionen for argument 25. Men der er ikke længere nogen måde at finde den tilsvarende værdi for argument 30. Dette er hovedforskellen mellem denne procedure og ekstrapolering.

Metode 1: Interpolation for tabeldata

Først og fremmest, lad os se på anvendelserne af interpolation for data, der er placeret i en tabel. Lad os for eksempel tage en række argumenter og deres tilsvarende funktionsværdier, hvis forhold kan beskrives lineær ligning. Disse data er vist i tabellen nedenfor. Vi skal finde den tilsvarende funktion for argumentet 28 . Den nemmeste måde at gøre dette på er at bruge operatøren FORUDSIGELSE.

Metode 2: Interpoler grafen ved hjælp af dens indstillinger

Interpolationsproceduren kan også bruges ved konstruktion af funktionsgrafer. Det er relevant, hvis tabellen, som grafen er baseret på, ikke angiver den tilsvarende funktionsværdi for et af argumenterne, som på billedet nedenfor.

Som du kan se, er grafen blevet rettet, og mellemrummet er fjernet ved hjælp af interpolation.

Metode 3: Interpoler grafen ved hjælp af en funktion

Du kan også interpolere grafen vha speciel funktion ND. Det returnerer udefinerede værdier i den angivne celle.

Du kan gøre det endnu nemmere uden at løbe Funktionsguide, og brug bare tastaturet til at indtaste værdien i en tom celle "#N/A" uden citater. Men det afhænger af, hvad der er mere bekvemt for hvilken bruger.

Som du kan se, kan du i Excel interpolere som tabeldata ved hjælp af funktionen FORUDSIGELSE, og grafik. I sidstnævnte tilfælde kan dette gøres ved hjælp af diagramindstillingerne eller ved hjælp af funktionen ND, forårsager en fejl "#N/A". Valget af, hvilken metode der skal bruges, afhænger af problemformuleringen såvel som brugerens personlige præferencer.

Interpolation. Introduktion. Generel beskrivelse af problemet

Ved løsning af div praktiske problemer forskningsresultater præsenteres i form af tabeller, der viser afhængigheden af ​​en eller flere målte størrelser af en definerende parameter (argument). Disse typer tabeller præsenteres normalt i form af to eller flere rækker (kolonner) og bruges til at danne matematiske modeller.

Tabel specificeret i matematiske modeller funktioner er normalt skrevet i tabeller med formen:

Den begrænsede information, der gives af sådanne tabeller, kræver i nogle tilfælde, at man opnår værdierne af funktionerne Y j (X) (j=1,2,...,m) ved punkter X, der ikke falder sammen med knudepunkterne i tabel X i (i=0,1,2,…,n) . I sådanne tilfælde er det nødvendigt at bestemme et analytisk udtryk φ j (X) for at beregne omtrentlige værdier af funktionen under undersøgelse Y j (X) ved vilkårligt specificerede punkter X. Funktionen φ j (X), der bruges til at bestemme de omtrentlige værdier af funktionen Y j (X), kaldes en tilnærmelsesfunktion (fra latin approximo - nærmer sig). Nærheden af ​​den tilnærmede funktion φ j (X) til den tilnærmede funktion Y j (X) sikres ved at vælge den passende tilnærmelsesalgoritme.

Vi vil gøre alle yderligere overvejelser og konklusioner for tabeller, der indeholder de indledende data for en funktion under undersøgelse (dvs. for tabeller med m=1).

1. Interpolationsmetoder

1.1 Redegørelse for interpolationsproblemet

For at bestemme funktionen φ(X) bruges oftest en formulering, kaldet formuleringen af ​​interpolationsproblemet.

I denne klassiske formulering af interpolationsproblemet er det nødvendigt at bestemme den omtrentlige analytiske funktion φ(X), hvis værdier i knudepunkterne X i matche værdierne Y(Х i) i den oprindelige tabel, dvs. betingelser

Bygget på denne måde tilnærmende funktionφ(X) gør det muligt at opnå en ret tæt tilnærmelse til den interpolerede funktion Y(X) inden for rækkevidden af ​​værdier af argumentet [X 0 ; X n ], bestemt af tabellen. Når du angiver værdierne af argumentet X, ikke hører til dette interval transformeres interpolationsproblemet til et ekstrapolationsproblem. I disse tilfælde er nøjagtigheden

værdier opnået ved beregning af værdierne af funktionen φ(X) afhænger af afstanden mellem værdien af ​​argumentet X fra X 0, hvis X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

I matematisk modellering kan interpolationsfunktionen bruges til at beregne omtrentlige værdier af den undersøgte funktion ved mellemliggende punkter af underintervallerne [Х i ; Xi+1]. Denne procedure kaldes bordkomprimering.

Interpolationsalgoritmen bestemmes af metoden til at beregne værdierne af funktionen φ(X). Den enkleste og mest oplagte mulighed for at implementere interpolationsfunktionen er at erstatte funktionen under undersøgelse Y(X) på intervallet [X i ; X i+1] af en ret linje, der forbinder punkterne Yi, Y i+1. Denne metode kaldes den lineære interpolationsmetode.

1.2 Lineær interpolation

Med lineær interpolation bestemmes værdien af ​​funktionen ved punkt X, placeret mellem knudepunkter X i og X i+1, af formlen for en ret linje, der forbinder to tilstødende punkter i tabellen

I fig. Figur 1 viser et eksempel på en tabel opnået som resultat af målinger af en bestemt størrelse Y(X). Kildetabellens rækker er fremhævet. Til højre for tabellen er et scatterplot svarende til denne tabel. Tabellen komprimeres ved hjælp af formlen

(3) værdier af den tilnærmede funktion i punkterne X svarende til midtpunkterne af underintervallerne (i=0, 1, 2, …, n).

Fig.1. Kondenseret tabel over funktionen Y(X) og dens tilsvarende diagram

Når man betragter grafen i fig. 1 kan det ses, at de punkter, der opnås som et resultat af komprimering af tabellen ved hjælp af den lineære interpolationsmetode, ligger på lige segmenter, der forbinder punkterne i den oprindelige tabel. Lineær nøjagtighed

interpolation, afhænger væsentligt af arten af ​​den interpolerede funktion og af afstanden mellem noderne i tabellen Xi, Xi+1.

Det er klart, hvis funktionen er glat, så selv med relativt lang distance mellem noder giver en graf konstrueret ved at forbinde punkter med lige linjesegmenter, at man ret præcist kan vurdere karakteren af ​​funktionen Y(X). Hvis funktionen ændres ret hurtigt, og afstandene mellem knudepunkterne er store, tillader den lineære interpoleringsfunktion ikke at opnå en tilstrækkelig nøjagtig tilnærmelse til den virkelige funktion.

Den lineære interpoleringsfunktion kan bruges til generelt foreløbig analyse og vurdering af rigtigheden af ​​interpolationsresultater, som derefter opnås ved andre mere nøjagtige metoder. Denne vurdering bliver især relevant i de tilfælde, hvor beregninger udføres manuelt.

1.3 Interpolation med kanonisk polynomium

Metoden til at interpolere en funktion med et kanonisk polynomium er baseret på at konstruere den interpolerende funktion som et polynomium i formen [1]

Koefficienterne med i for polynomium (4) er gratis parametre interpolationer, som bestemmes ud fra Lagrange-betingelser:

Pn (xi)= Yi, (i= 0, 1, ..., n)

Ved hjælp af (4) og (5) skriver vi ligningssystemet

Løsningsvektoren med i (i = 0, 1, 2, …, n) af systemet af lineær algebraiske ligninger(6) eksisterer og kan findes, hvis der ikke er matchende noder blandt i. Determinanten af ​​system (6) kaldes Vandermonde-determinanten1 og har et analytisk udtryk [2].

1 Vandermonde determinant kaldet determinant

Han lig med nul hvis og kun hvis xi = xj for nogle. (Materiale fra Wikipedia - den frie encyklopædi)

For at bestemme værdierne af koefficienter med i (i = 0, 1, 2, …, n)

ligning (5) kan skrives i vektor-matrix form

A* C= Y,

hvor A, matrix af koefficienter bestemt af tabellen over grader af vektoren af ​​argumenter X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C er kolonnevektoren for koefficienterne i (i = 0, 1, 2, …, n), og Y er kolonnevektoren for værdierne Y i (i = 0, 1, 2, …, n) af den interpolerede funktion ved interpolationsnoderne.

Løsningen til dette system af lineære algebraiske ligninger kan opnås ved hjælp af en af ​​metoderne beskrevet i [3]. For eksempel ifølge formlen

hvor A -1 er den inverse matrix af matrix A. For at få omvendt matrix A -1 kan du bruge MOBR()-funktionen inkluderet i sættet standard funktioner Microsoft programmer Excel.

Efter at værdierne af koefficienterne med i er bestemt ved hjælp af funktion (4), kan værdierne af den interpolerede funktion beregnes for enhver værdi af argumenterne.

Lad os skrive matrix A for tabellen vist i fig. 1 uden at tage højde for rækkerne, der komprimerer tabellen.

Fig.2 Matrix af ligningssystemet til beregning af koefficienterne for det kanoniske polynomium

Ved at bruge funktionen MOBR() får vi matrix A -1 invers til matrix A (fig. 3). Hvorefter vi ifølge formel (9) får vektoren af ​​koefficienterne C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T vist i fig. 4.

For at beregne værdierne af det kanoniske polynomium i cellen i den kanoniske Y-søjle, der svarer til værdierne x 0, introducerer vi en formel konverteret til følgende form, svarende til nulrækken i systemet (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

I stedet for at skrive " c i " i en formel indtastet i en celle Excel tabeller, skal der være en absolut forbindelse til den tilsvarende celle, der indeholder denne koefficient (se fig. 4). I stedet for "x 0" - en relativ reference til en celle i kolonne X (se fig. 5).

Y kanonisk(0) for den værdi, der matcher værdien i cellen Ylin(0) . Når du strækker formlen skrevet ind i celle Y kanonisk (0), skal værdierne af Y kanonisk (i) svarende til originalens knudepunkter også falde sammen

tabeller (se fig. 5).

Ris. 5. Diagrammer bygget ved hjælp af lineære og kanoniske interpolationstabeller

Vi ser en sammenligning af funktionsgrafer konstrueret ud fra tabeller beregnet ved hjælp af lineære og kanoniske interpolationsformler i en række af mellemliggende knudepunkter signifikant afvigelse af de opnåede værdier ved brug af lineære og kanoniske interpolationsformler. En mere rimelig bedømmelse af nøjagtigheden af ​​interpolation kan baseres på opnåelse Yderligere Information om arten af ​​den modellerede proces.

Den enkleste og mest anvendte type lokal interpolation er lineær interpolation. Det er det givet point (x jeg , y jeg) ved ( i = 0. 1, ..., n) er forbundet med lige segmenter, og funktionen f(x) en polylinje med toppunkter på disse punkter nærmer sig.

Ligningerne for hvert segment af den stiplede linje er generelt forskellige. Da der er n intervaller ( x jeg - 1, x jeg), så bruges for hver af dem ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter, som ligningen for interpolationspolynomiet. Specielt for det i-te interval kan vi skrive ligningen for en ret linje, der går gennem punkterne ( x jeg -1, y jeg -1 ) Og ( x jeg , y jeg), som

a i =

Derfor, når du bruger lineær interpolation, skal du først bestemme det interval, som værdien af ​​argumentet x falder i, og derefter erstatte det med formlen (*) og finde den omtrentlige værdi af funktionen på dette tidspunkt

Figur 3-3-Lineær interpolationsgraf.

1. Løsning af et professionelt problem

Vi vedligeholder eksperimentelle data

ORIGIN:=0 Begyndelsen af ​​dataarrayet - tæller fra bunden

jeg:=1..6 Antal elementer i arrayet

Eksperimentelle data er organiseret i to vektorer

Lad os udføre interpolation ved hjælp af indbyggede MathCad-funktioner

Lineær interpolation

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Cubic pine interpolation

CS:=cspline(x,y)

Konstruktion af en kubisk spline ved hjælp af eksperimentelle data

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

B-spline interpolation

Indstil interpolationsrækkefølgen. Vektoren u skal have (n-1) færre elementer end vektoren x, og det første element skal være mindre end eller lig med det første element x, og den sidste er større end eller lig med det sidste element i x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Vi konstruerer en B-spline baseret på eksperimentelle data

BSf(x i):=(BS, x,y,x i)

Vi bygger en graf over alle tilnærmelsesfunktioner på et koordinatplan.

Figur 4.1-Graf over alle tilnærmelsesfunktioner på et koordinatplan.

Konklusion

I beregningsmatematik spiller interpolation af funktioner en væsentlig rolle, dvs. Ved at bruge en given funktion, konstruere en anden (normalt enklere) funktion, hvis værdier falder sammen med værdierne af den givne funktion ved et bestemt antal punkter. Desuden har interpolation både praktisk og teoretisk betydning. I praksis opstår ofte problemet med at rekonstruere en kontinuerlig funktion ud fra dens tabelværdier, f.eks. opnået i løbet af et eksperiment. For at evaluere mange funktioner viser det sig, at det er effektivt at tilnærme dem ved polynomier eller rationelle brøkfunktioner. Interpolationsteori anvendes ved konstruktion og undersøgelse af kvadraturformler til numerisk integration, for at opnå metoder til løsning af differential- og integralligninger. Den største ulempe ved polynomiel interpolation er, at den er ustabil på et af de mest bekvemme og almindeligt anvendte gitter - gitteret med ækvidistante noder. Hvis opgaven tillader det, kan dette problem løses ved at vælge et mesh med Chebyshev noder. Hvis vi ikke frit kan vælge interpolationsknudepunkter, eller vi blot har brug for en algoritme, der ikke er for krævende i valget af noder, så kan rationel interpolation være et passende alternativ til polynomiel interpolation.

Fordelene ved spline-interpolation omfatter den høje behandlingshastighed af beregningsalgoritmen, da en spline er en stykkevis polynomisk funktion, og under interpolation behandles data samtidigt for et lille antal målepunkter, der tilhører det fragment, der betragtes i dette øjeblik. Interpoleret overflade beskriver rumlig variabilitet forskellige skalaer og er samtidig glat. Sidstnævnte omstændighed gør det muligt direkte at analysere overfladens geometri og topologi ved hjælp af analytiske procedurer