Целевые функции. Выбор критериев
Переменные задачи
Построим модель задачи.
Решение
Прежде чем построить математическую модель задачи, ᴛ.ᴇ. записать ее с помощью математических символов, крайне важно четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого крайне важно с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, к примеру, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?
Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, к примеру, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, ᴛ.ᴇ. к записи математической модели.
В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида нужно производить. По этой причине искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок:
x1 – суточный объём производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];
x2 – суточный объём производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, крайне важно знать объёмы производства красок, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, доход от продажи суточного объёма производства краски 1-го вида равен 3 x 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x 2 тыс. руб. в сутки. По этой причине запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок)
Целевая функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Целевая функция" 2017, 2018.
ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем вызвана необходимость внешнеэкономической деятельности предприятия? 2. Что благоприятствует внешнеэкономической деятельности предприятия? 3. Что является препятствием для... .
F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2 . Функция выпукла, если F"(x)>0 для любого x. Проверим: ; ; ; . Значит, функция выпукла, поскольку "x>0. Следовательно, выбор оптимального числа поездов на двух участках оказывается задачей выпуклого программирования, которая может быть решена... .
В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе...
Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.
Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят
Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ
Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет
ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.
Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.
В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76
Целевая функция имеет вид
Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.
Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.
В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)
Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида
Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.
Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.
Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-
К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-
Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.
Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".
Целевая функция. Если доход от реализации одного стола равен С 1 рублей, то от реализации столов в объеме х 1 штук месячный доход
составит С
1 х
1 рублей. Аналогично месячный доход от реализации шкафов составит С
2 х
2 рублей. Обозначив общий доход (в руб.) через Z
, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения х
1 , и х
2 , максимизирующие величину общего дохода Z
= С
1 х
1 + С
2 х
2 =
| 2 |
| ∑ |
| j=1 |
C j x j .
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход ресурсов. Пиломатериал идет на изготовление и столов и шкафов. На один стол идет а 11 (м 3) пиломатериала, тогда на столы в количестве x 1 штук потребуется а 11 x 1 (м 3) пиломатериала. На изготовление шкафов в количестве х 2 штук потребуется а 12 х 2 (м 3) пиломатериала. Всего пиломатериала потребуется а 11 х 1 + а 12 x 2 (м 3). Расход его не должен превышать величины b 1 (м 3). Тогда ограничение на пиломатериал запишем в виде неравенства
На переменные задачи х 1 и х 2 должны быть наложены условия неотрицательности и неделимости, т.е. введем ограничения
х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0,
где х 1 , х 2 - целые числа.
Итак, математическую модель задачи можно записать следующим образом: определить месячные объемы производства столов х 1 и шкафов х 2 , при которых достигается
Следует отметить, что с формальных позиций данная модель является линейной, потому что все входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Но линейный характер построенной модели должен предполагать наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности. Пропорциональность предполагает прямо пропорциональную зависимость между переменной и целевой функцией и объемом потребления ограниченных ресурсов. Например, прямая пропорциональность не будет иметь места, если ввести зависимость доходов фабрики от размера партии продаваемых продуктов. Аддитивность наблюдается в том, что составляющие дохода в целевой функции независимы, общий доход равен сумме доходов. Если фабрика производит два конкретных вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.
Для определения переменных рассмотренной модели могут использоваться методы линейного программирования. Базовым методом ЛП является симплекс-метод, разработанный Г. Данцигом . Задачу ЛП можно решить и графически. Графическое представление решения задачи поможет понять и идею симплекс-метода. Конкретизируем задачу, представив исходные данные в табл. 3.1 (данные приводятся условные).
Таблица 3.1
| Ресурсы | Расход ресурсов на единицу продукции | Запас ресурсов |
|
| Стол | Шкаф |
||
| Пиломатериалы (м 3) | 0,06 | 0,07 | 42 |
| Шурупы (кг) | 0,04 | 0,085 | 34 |
| Краска (кг) | 0,035 | 0,12 | 42 |
| Цена единицы продукции (руб.) | 500 | 750 | - |
Запишем модель задачи с приведенными данными:
В дальнейшем ограничение (3.5) учитывать не будем, а решение задачи получим округлением найденных переменных задачи (3.0-3.4).
44 :: 45 :: 46 :: 47 :: Содержание
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Содержание
3.2.2. Графический способ решения ЗЛП
Для определения решения ЗЛП с двумя переменными выполним следующие действия.
1. Построим множество допустимых решений Ω задачи. Данное множество Ω образуется в результате пересечения полуплоскостей (ограничений) (3.1-3.4). На рис. 3.2 множество допустимых решений показано в виде пятиугольника. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных. Полученный многогранник Ω называют симплексом. Отсюда и название метода поиска оптимального решения.
2. Построим вектор-градиент С, составленный из производных целевой функции по переменным задачи, который указывает направление возрастания целевой функции по этим переменным. С = (С 1 , С 2) = (500,750). Начало этого вектора лежит в точке с координатами (0, 0), а конец - в точке (500, 750). Ряд параллельных штриховых линий, перпендикулярных вектору-градиенту, образует множество целевых
Функций при произвольно выбранных значениях Z . При Z = 0 прямая (целевая функция) проходит через точку (0, 0), а целевая функция Z принимает минимальное значение.
Рис. 3 2 Геометрическая интерпретация ЗЛП
3. Переместим прямую, характеризующую доход Z , в направлении вектор-градиента (для задачи max Z ) до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 3.2 видно, что оптимальному решению соответствует точка X* = (х 1 *, х 2 *). Так как точка X* является точкой пересечения прямых (3.1) и (3.2), значения х 1 * и х 2 * определяются решением системы двух уравнений:
Решение указанной системы уравнений дает результат х 1 * = 517,4 и х 2 * =156,5. Полученное решение означает, что месячный объем производства столов должен составить 517 шт., а шкафов - 156 шт. Доход, полученный в этом случае, составит:
Z = 517 · 500 + 156 · 750 = 375500 рублей
ЗЛП со многими переменными можно решить графически, если в ее канонической записи число неизвестных n и число линейно независимых уравнений m связано соотношением n-m ≤ 2. Запишем каноническую форму ЗЛП, рассмотренную выше. Для этого введем новые переменные x 3 , x 4 и x 5 .
Для данной ЗЛП число переменных n = 5, а число линейно-независимых уравнений m = 3. Эта и другие ЗЛП в канонической форме могут быть решены графически, если n-m ≤ 2.
Выберем любые m неизвестные и выразим каждую из них через оставшиеся (n-m ) переменные. В нашем случае удобно взять переменные x 3 , x 4 и x 5 и выразить их через x 1 и x 2 .
Учитывая неотрицательность всех переменных, в том числе х 3 ≥ 0, х 4 ≥ 0 и х 5 ≥ 0, а также зависимость последних от двух переменных x 1 и х 2 , можно графически показать решение расширенной задачи с проекцией на переменные x 1 и х 2 . Полуплоскость х 3 ≥ 0 (см. рис. 3.2) совпадает с ограничением (3.1), полуплоскость х 4 ≥ 0 - с ограничением (3.2), а полуплоскость х 5 ≥ 0 - с ограничением (3.3). Точка оптимума в координатах x 1 и х 2 образуется в результате пересечения полуплоскостей х 3 и х 4: x 1 * = 517,4; х 2 = 156,5. Соответственно значения переменных х 3 Ä х 4 будут нулевыми: x 3 * =0; х 4 * = 0. Тогда из (3.9) следует, что x 5 * = 42 - 0,035·517,4 - 0,12·156,5 = 5,1. Решением ЗЛП (3.6-3.10) будет вектор X* = (517,4; 156,5; 0; 0; 5,1).
Геометрическое представление ЗЛП отражает следующее:
1) множество допустимых решений Ω выпуклое;
2) оптимальное решение не существует, если множество Ω пустое или неограниченное в направлении перемещения семейства гиперплоскостей уровня цели поиска экстремума;
3) решение находится в одной из угловых точек (вершин) множества допустимых решений Ω, получивших название базисных;
4) для канонической ЗЛП базисные решения характеризуются вектором X - (x 1 , x 2 ,..., х n), в котором значения m переменных отличны от нуля, где m - число линейно независимых уравнений задачи (число базисных переменных угловой точки множества Ω).
Для оптимального решения X* рассмотренного примера базисными переменными стали переменные x 1 , х 2 и х 5 . Оставшиеся переменные (n - m ) называют небазисными или свободными. Их значения в угловой точке равны нулю.
Обратите внимание на то, что любая базисная переменная может быть выражена через небазисные, и базисная переменная в модели (3.6)-(3.10) записывается один раз с коэффициентом единица.
Приведенная задача использования ресурсов имеет весьма простую постановку и структуру. В ней могут появиться требования учета выпуска продуктов в определенном соотношении, учета их возможного выпуска по различным технологиям, учета загрузки оборудования и другие. Все эти ситуации достаточно хорошо описываются моделями линейного программирования.
47 :: 48 :: 49 :: 50 :: 51 :: Содержание
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Содержание
3.2.3. Алгебраический (симплексный) метод решения ЗЛП
Рассмотренный выше графический способ решения задачи ЛП позволяет понять идею методов оптимизации, в том числе и методов линейного программирования. Сущность всех методов математического программирования заключается в том, чтобы вместо "слепого" перебора вариантов плана вести перебор выборочный, организованный, направленный на скорейшее, а в некоторых случаях и последовательное, улучшение решения.
Экстремальное решение достигается не внутри области допустимых решений Ω, а на границе ее (см. рис. 3.2); если быть еще точнее, то в одной из вершин угловых точек многоугольника, образованного в результате пересечения прямых, связанных с определенными ограничениями, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками. Так как экстремум обязательно достигается в одной или двух угловых точках допустимых планов, то нужно просто вычислить значения целевых функций во всех угловых точках (в нашем примере их пять) и
выбрать ту из них, которой соответствует экстремальное значение. При большом числе переменных и при большом числе ограничений число угловых точек многогранника становится столь велико, что вычислить в каждой из них значение целевой функции, запомнить эти значения и сравнить между собой весьма проблематично даже для мощных ЭВМ. Поэтому нужно искать какой-то другой путь решения.
К точке оптимума можно подобраться последовательно, переходя от одной угловой точки к соседней, например, каждый раз от исходной (опорной) точки X 0 (х 1 = 0, х 2 = 0) последовательно к той соседней, которая ближе и быстрее приближает к X*. Перебор точек решения по такой схеме позволяет предложенный Р. Данцигом симплекс-метод . Для нашего примера на первом шаге (итерации) от опорной точки X 0 мы перейдем по схеме симплекс-метода к точке X 1 с координатами (700, 0) и на втором шаге перейдем к точке X*. По другому же пути к точке X* можно добраться лишь за три шага. С вычислительной точки зрения симплекс-метод реализуется через так называемые симплекс-таблицы, которые рассчитываются для каждой угловой точки, начиная с опорной. Симплекс-таблицы позволяют определить оптимальность принимаемого решения, значения переменных, оценить ресурсные параметры (ограничения) на предмет их дефицитности, и в случае неоптимального решения, указывают, как перейти к соседней точке (следующей таблице). В силу различных особенностей и постановок задач ЛП симплекс-метод имеет различные модификации: прямой, двойственный, двухэтапный .
Для реализации любого из симплекс-методов необходимо построение начального опорного плана .
Пусть система ограничений такова:
Добавив к левым частям неравенства дополнительные переменные x n+i ≥ 0, i = 1, m , получим каноническую (расширенную) задачу, стратегически эквивалентную исходной, с системой ограничений:
Тогда начальным опорным планом будет вектор
Который удовлетворяет допустимости решения (он является базисным, т.к. число ненулевых элементов равно m , и опорным, т.к. все x j ≥ 0). Пусть система ограничений такова:
Вычтя из левых частей неравенства дополнительные переменные x n+i ≥ 0, i = 1, m , получим расширенную задачу, стратегически эквивалентную исходной, с системой ограничений:
Однако теперь дополнительные переменные входят в левую часть ограничений с коэффициентами, равными минус единице. Поэтому план
не удовлетворяет условиям допустимости решения (он базисный, но не опорный).
Как в первом, так и во втором случае при добавлении дополнительных переменных (они же становятся базисными переменными) в систему ограничений эти же переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами, равными нулю: C n+i ≥ 0, i = 1, m , т.е. в целевой функции при базисных переменных стоят нулевые коэффициенты, а при небазисных - коэффициенты С j , j = 1, n . Пусть целевая функция стремится к минимуму. Тогда значение целевой функции может быть уменьшено, если в базис вводить ту переменную x j , при которой коэффициент С j целевой функции имеет знак минус. И если все коэффициенты в целевой функции имеют знак плюс, то уменьшить ее значение не представляется возможным. Поэтому признаком оптимальности решения ЗЛП служат коэффициенты (оценки) в целевой функции при небазисных переменных.
В зависимости от выполнения условий оптимальности и допустимости применяют ту или иную схему решения ЗЛП .
Методы решения ЗЛП разбиваются на две группы:
1) методы последовательного улучшения решения. В основу их заложено движение от первоначальной точки (любое допустимое, но неоптимальное решение задачи в канонической форме) к оптимальной
Точке за конечное число шагов (итераций). К этой группе относятся прямой симплекс-метод, метод потенциалов и другие;
2) методы последовательного сокращения невязок. В основу их заложено движение от исходной условно-оптимальной точки, лежащей вне области допустимых решений, но удовлетворяющей признаку оптимальности решения, к оптимальной и допустимой точке. К этой группе относятся двойственный симплекс-метод, венгерский метод и другие. Все алгоритмы решения ЗЛП опираются на каноническую форму задачи. Поэтому число искомых переменных канонической задачи будет больше, чем в исходной.
При выборе алгоритма решения задачи ЛП исходят из следующих данных. Пусть ЗЛП приведена к каноническому виду, решается на минимум и свободные коэффициенты b i ≥ 0, i = 1, m . Тогда, если в целевой функции задачи имеются отрицательные коэффициенты (условие оптимальности решения задачи не выполняется), а начальный план задачи не имеет отрицательных значений переменных (условие допустимости решения задачи выполняется), то для решения предлагаемой задачи следует воспользоваться алгоритмом прямого симплекс-метода (табл. 3.2). Двойственный симплекс-метод применяется, если условие оптимальности решения задачи выполняется, а допустимости - нет. Двухэтапный симплекс-метод применяется, если условия и оптимальности и допустимости решения задачи не выполняются.
Таблица 3.2
Рассмотрим прямой симплекс-метод решения задач ЛП на следующем примере.
Пример 3.1
Минимизировать функцию Z = -x 1 - х 2 при ограничениях: 0,5х 1 + х 2 ≤ 1;
2х 1 + х 2 ≤ 2;
х 1 , х 2 ≥ 0.
Графическое представление задачи (3.11-3.14) показано на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Графическое представление задачи (3.11) - (3.14)
Начальной базисной опорной точкой задачи будет вектор Х 0 = (0; 0; 1; 2). Значение целевой функции в этой точке Z (X 0) = 0.
Перенесем в целевой функции (3.11) переменную Z за знак равенства и данную задачу запишем в виде табл. 3.3, называемой симплекс-таблицей (нулевая итерация).
Таблица 3.3
В литературе описаны и другие формы записи симплекс-таблицы . По симплекс-таблице всегда можно сказать, является ли найденное решение оптимальным. В данном случае решение х 1 = 0; х 2 = 0; х 3 = 1; х 4 = 2 не является наилучшим, так как можно ввести в базис одну из переменных х 1 или х 2 (при этих переменных стоят коэффициенты со знаком минус с 1 = -1 и с 2 = - 1), уменьшив значение целевой функции. Тогда вводя в базис одну из небазисных переменных х 1 или х 2 (увеличив ее значение), следует вывести из базиса переменную х 3 или х 4 (доведя ее значение до нуля). В прямом симплекс-методе рассматриваются последовательно вопросы:
переход к новой канонической форме ЗЛП (к следующей итерации симплекс-таблицы).
. Если в базис включаем переменную x 1 , то это значит, что увеличиваем ее значение с нуля до каких-то определенных пределов. До каких? Обратимся к рис. 3.3. Крайним значением для переменной х 1 будет единица, при этом переменная (прямая) х 4 в ограничении (3.13) примет значение, равное нулю, то есть из базиса выйдет х 4 , а ее место займет переменная x 1 . Из уравнения (3.12) определим значение х 3 = 1 - 0,5 · 1 = 0,5. Таким образом, на следующей итерации (шаге) допустимым решением будет вектор X 1 = (1; 0; 0,5; 0). Значение целевой функции в этой точке Z (1) = -1.
Не прибегая к графическому представлению задачи, определение предельного значения x l и определение переменной х 4 , которую следует вывести из базиса, можно провести на следующем распределении. Если вывести из базиса переменную х 3 , т.е. должно быть х 3 = 0, то из (3.12) следует x l = b 1 /а 1 s = 1/0,5 = 2. Если вывести из базиса переменную х 4 , т.е. сделать х 4 = 0, то из (3.13) x l = b 2 /а 2 s = 1/1 = 1. Получается, что значение x l = 1 или x l = 2. Но при x l = 2 в уравнении (3.13) переменная х 4 = 1 - 2 - 0,5 · 0 = -1, что противоречит условию допустимости решения (3.14). Поэтому включаем в базис x l с наименьшим значением, которое определено из второго ограничения. В этом ограничении находится исключаемая переменная из базиса х 4 . В общем случае переменная x s , включаемая в базис, может увеличиваться до значения
Пусть максимум достигается в строке r , т.е. x s = b r /a rs , тогда в этой строке базисная переменная обращается в нуль, т.е. выводится из базиса. Строку r называют ведущей строкой , а элемент а rs - ведущим элементом . Если в ведущем столбце не найдутся положительные a is , то это означает, что ЗЛП не имеет области допустимых решений.
Переход к новой канонической форме ЗЛП . В табл. 3.4 показаны переходы от нулевой итерации к последующим методам последовательного исключения вновь вводимой базисной переменной из неведущих строк. Новая строка на последующей итерации с вновь введенной базисной переменной получается путем деления элементов ведущей строки на ведущий элемент, относительно полученной строки далее производится исключение новой базисной переменной из других строк. В табл. 3.4 на итерации 1’ указаны коэффициенты при базисных переменных, под которые осуществляется соответствующий переход. Ведущие элементы в таблице помечены звездочкой.
Расчет коэффициентов на очередной итерации можно производить по правилу четырехугольника .
Эта таблица на итерации 2 соответствует оптимальному решению X* = X 2 = (2/3; 2/3; 0; 0).
Значение целевой функции Z (X*) = -4/3.
Таблица 3.4
Рассмотрим двойственный симплекс-метод решения задачи ЛП на следующем примере.
Пример 3.2
Максимизировать функцию Z = -х 1 - х 2 при ограничениях:
0,5х 1 + х 2 ≤ 1;
2х 1 + х 2 ≥ 2;
х 1 , х 2 ≥ 0.
В канонической форме ЗЛП примет вид
Графическое представление задачи показано на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Графическое представление задачи (3.15) - (3.18)
Составим симплекс-таблицу 3.5.
Таблица 3.5
Нулевая строка в табл. 3.5 указывает на то, что признак оптимальности решения задачи выполнен (нет отрицательных коэффициентов).
Однако начальное решение Х 0 = (0; 0; 1; -2) является отрицательным.
Попытаемся решить задачу (в противоположность прямому симплекс-методу) последовательным движением от исходной недопустимой точки Х 0 к X*, рассматривая вопросы:
поиск переменной для исключения из базиса;
поиск переменной для включения в базис;
переход к новой форме ЗЛП (последующей итерации решения).
Будет и оптимальным и допустимым. В нашем примере исключаем переменную х 4 = -2.
Поиск переменной для включения в базис . Какую небазисную переменную включить в базис х 1 или х 2 ? В принципе любую можно включить в базис с целью движения в область допустимых решений. Из графического представления задачи (см. рис. 3.4) видно, что при включении в базис переменной х 2 мы попадаем сразу в допустимую и оптимальную точку X*. В литературе показано, что к оптимальному решению можно добраться быстрее, если выбирать для включения в базис переменную x s такую, что для нее отношение C s /|a rs | для всех элементов a rs ведущей строки будет минимальным:
Если все элементы a rj · ≥ 0, то это будет означать, что задача не имеет допустимых решений. В нашем примере минимальное отношение (3.19) достигается для переменной х 1 и равно 1/2. Решим задачу табличным способом (табл. 3.6).
Таблица 3.6
Оптимальное решение: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z (X* ) = -z" = -1.
Предположим, что при решении предыдущего примера (см. табл. 3.6) в базис включили бы не х 1 , а переменную х 2 , то получили бы на итерации 1 следующую табл. 3.7.
Таблица 3.7
Нулевая строка в табл. 3.7 указывает на то, что признак оптимальности решения задачи не выполнен, и промежуточное решение X 1 = (0; 2; -1; 0) является недопустимым. Далее задачу можно решать двухэтапным симплекс-методом, методом больших штрафов и другими . Рассмотрим двухэтапный симплекс-метод .
1. Вводим дополнительно по одной переменной, делая их базисными, в те уравнения, в которых не выполнялись условия допустимости. В нашем случае вводим переменную х 5 в строку (1), прежде изменив знаки на противоположные (табл. 3.8), и столбец под х 5:
3/2 х 1 - х 3 - х 4 + х 5 = 1.
2. Вводим новую (фиктивную) целевую функцию W как сумму вновь вводимых дополнительных переменных, выраженную через небазисные переменные. В нашем случае W = х 5 = 1 - 3/2 x 1 + х 3 + х 4 . Вносим дополнительно строку (3) в табл. 3.8 с фиктивной целевой функцией -W - 3/2 х 1 + х 3 + х 4 = -1.
3. Применяем прямой симплекс-метод для минимизации фиктивной целевой W с пересчетом всех коэффициентов. Первый этап заканчивается, если фиктивная целевая функция W обратится в нуль W = 0, а следовательно, и дополнительные переменные тоже будут с нулевыми значениями. Далее строка с фиктивной целевой функцией и столбцы с дополнительными переменными не рассматриваются. Если в результате минимизации целевой W получим оптимальное значение W , отличное от нуля W ≠ 0, то это будет означать, что исходная ЗЛП не имеет допустимых решений.
Применяем прямой симплекс-метод для оптимизации основной
целевой функции Z . Включаем в базис переменную х 3 вместо переменной х 2 . Делаем пересчет коэффициентов на итерации 3 и получаем оптимальное решение: X* = (1; 0; 1/2; 0;); Z (X*) = -z" = -1.
Таблица 3.8
50 :: 51 :: 52 :: 53 :: 54 :: 55 :: 56 :: 57 :: 58 :: 59 :: 60 :: 61 :: Содержание
61 :: 62 :: 63 :: 64 :: 65 :: 66 :: 67 :: 68 :: 69 :: 70 :: Содержание
3.2.4. Анализ модели задачи линейного программирования
Данные в оптимальной симплекс-таблице позволяют делать всесторонний анализ линейной модели, в частности анализ чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов и вариациям коэффициентов целевой функции. Дадим вначале понятие двойственности задач линейного программирования.
Рассмотрим задачу линейного программирования (3.20)-(3.22) на примере задачи использования ресурсов. Если для этой исходной ЗЛП (назовем ее прямой) ввести переменные y i для оценки ресурсных ограничений (3.21) и сделать переход к математической постановке другой задачи (двойственной или обратной) вида (3.23)-(3.25), то решения прямой и двойственной задач будут находиться во взаимной зависимости, выраженной через соответствующие теоремы двойственности .
Очевидно, задача, двойственная двойственной, совпадает с исходной. Поэтому нет разницы, какую принять в качестве прямой, а какую - двойственной. Говорят о паре взаимно двойственных задач.
Действие системы, ее поведение характеризуются не только установлением факта достижения цели, но и степенью ее достижения, определяемой с помощью целевой функции.
Целевая функция – есть обобщенный показатель системы, который характеризует степень достижения системой ее цели. Составление целевой функции одна из важнейших задач при проектировании системы. Однако нет общей теории построения целевых функций, есть только некоторые рекомендации.
Целевая функция составляется по указаниям ТЗ о критерии оптимизации путем анализа внешних параметров системы и ограничений на них.
Целевая функция должна существенно зависеть от внешних параметров или части их. В противном случае оптимизация по данной целевой функции не имеет смысла. Целевая функция представляет вектор в m -мерном пространстве внешних параметров системы
Обычно целевая функция задается в скалярном виде.
Используются следующие четыре формы целевой функции.
1. Наиболее часто используется целевая функция одного внешнего параметра
В этом случае целевая функция просто равна одному из внешних параметров или его обратной величине
Все остальные (m – 1) внешних параметров переводятся в систему ограничений.
Физический смысл целевой функции приведенных видов заключается в том, что чем больше (или меньше) параметр y i , тем лучше при прочих равных условиях данная система, причем равенство прочих условий понимается в смысле ограничений на остальные внешние параметры. Типичные задачи с приведенной формой целевой функции: оптимизация системы по надежности (y = P (t )), помехоустойчивости, стоимости и другим внешним параметрам. Такая целевая функция имеет ясный физический (технический или экономический) смысл, объективно характеризует систему и поэтому часто используется. То есть в этом случае целевой функцией является внешний параметр системы. Он и называется целевой функцией системы. Это могут быть: точность, быстродействие, время, стоимость, надежность, масса, габариты, какой-то технологический показатель и т.п.
2. Вторая форма целевой функции – это сумма параметров одной размерности или сумма функций от этих параметров
Такая форма характерна при оптимизации по экономическим критериям, по критериям сложности и т.п.
Например, при минимизации годовых приведенных затрат на систему целевая функция представляет собой сумму двух внешних параметров: годовых эксплуатационных расходов и капитальных затрат, отнесенных к сроку окупаемости системы. В этом случае каждый из этих внешних параметров системы является сложной функцией ее внутренних (подлежащих нахождению) параметров.
Целевые функции задач оптимизации по критерию сложности также имеют вторую форму, т.к. они представляются в виде суммы сложностей отдельных подсистем или блоков системы.
3. Третья форма целевой функции – ранжированная форма – представляет собой упорядоченную совокупность целевых функций первой формы с приоритетами
Первая целевая функция наиболее важная, последняя целевая функция наименее важная.
В частном случае целевая функция этого вида записывается так:
Пример ранжирования – это (например) такая последовательность целевых функций: точность, надежность, стоимость. Смысл целевой функции третьей формы состоит в следующем. Самым главным – первым по рангу – признается некоторый i -й параметр системы – y i (например, точность). Если у некоторой системы этот i -ый параметр больше, чем у всех других систем, то независимо от значений других параметров (если только они удовлетворяют ограничениям) данная система считается лучшей. Затем по второму параметру и т.д.
Процедура оптимизации в этом случае, как правило, является многошаговой. Такая оптимизация часто неосознанно применяется в технических системах. Сначала выбирают систему лучшую по точности, при одинаковой точности нескольких систем – более надежную, а затем – более дешевую. На каждом шаге при оптимизации используется только один критерий, что не противоречит концепции системного подхода (оптимизация по одному единственному критерию, см. далее).
4. Четвертая – наиболее общая – форма целевой функции представляет собой произвольную зависимость от всех или части (но не меньше двух) разнородных внешних параметров
При этом разнородные параметры преобразуются в безразмерные (или одноразмерные) и целевая функция формируется как некоторая композиция (например, среднее арифметическое) полученных безразмерных показателей.
Единую целевую функцию четвертой формы можно получить из целевых функций третьей формы путем умножения их на весовые коэффициенты и последующего суммирования :
где F S (y i ) – одна из k целевых функций третьей формы;
ω S – ее весовой коэффициент.
Однако, как указывается там же, определение весовых коэффициентов отдельных целевых функций является очень сложным.
Экстремальное значение полученной суммы будет считаться оптимальным.
Таким образом, можно указать, что в большинстве случаев (1-я и 3-я формы) показатели качества системы оцениваются численными значениями компонентов векторной целевой функции, которые носят названия функционалов :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Так как системы работают в условиях случайных воздействий, то значения функционалов часто оказываются случайными величинами. Это неудобно при использовании функционалов в виде показателей качества. Поэтому в таких случаях обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Например: среднее количество изделий, выпускаемых за смену; средняя стоимость продукции и т.д.
В
некоторых случаях показатели качества
представляют собой вероятности некоторых
случайных событий. При этом в качестве
целевой функции выбирается вероятность
выполнения системой поставленной цели
(задачи)
Например, вероятность обнаружения цели радиолокатором и т.п.
В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.
Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U .Предположим, что имеется n видов благ Б 1 , Б 2 ,…, Б n . В качестве благ могут выступать:
· продовольственные товары;
· товары первой необходимости;
· товары второй необходимости;
· предметы роскоши;
· платные услуги и т. д.
Пусть количество потребления каждого блага равно х 1 , х 2 ,…, х n . Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х 1 , х 2 , …, х n . Эта функция имеет вид .
В пространстве потребительских благ каждому уравнению соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия
. Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде , где С
- константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б 1 и непродовольственные товары, включая платные услуги Б 2
. Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С
.Для этого выражают количество потребления одного блага х
1 через другое х
2 . Рассмотрим пример.
Пример 6.3 . Целевая функция потребления имеет вид . Найти кривые безразличия.
Решение
.
Кривые безразличия имеют вид 
или , или (при этом следует отметить, что должно выполняться ).
Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р 1 , р 2 ,…, р n , а доход потребителя через D .Тогда должно выполняться бюджетное ограничение , имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:
В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:
(6.3)
Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х 1 - объем потребления продуктов питания и х 2 - потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:
(6.4)
Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.
|
, максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: .
Пример 6.4
. Целевая функция потребления имеет вид 
. Цена на благо Б 1
равна 20, цена на благо Б 2
равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.
Решение. Кривые безразличия имеют вид:
Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С .
Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:
Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: 
. Подставляем в целевую функцию
Находим производную и приравниваем ее к нулю
Получаем .
Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем 
или 
, откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .
Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения 
одну переменную через другую: 
. Подставляем в целевую функцию:
Находим производную и приравниваем ее к нулю:
Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу
7. Модель
межотраслевого баланса
Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономике многих государств в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важным критерием как для макроэкономики, так и для микроэкономики.
Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода).
Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.
Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен . Полная стоимость продукции, произведенной i -й отраслью, будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i -й отрасли, предназначенной для конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j -й отраслью, обозначим . Оставшаяся часть предназначена для реализации во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i -я отрасль производит конечного продукта.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид
, (i = 1, 2, …, n ). (7.1)
Уравнения (7.1) называются соотношениями баланса.
. (7.2)
Все ранее рассмотренные показатели можно записать в основную балансовую таблицу:
| Отрасль | Потребление отраслей, | Конечный продукт, | Валовойпродукт, | |||
| … | n | |||||
| … | ||||||
| … | ||||||
| … | … | … | … | |||
| n | … | |||||
| Чистый продукт | … |
В результате основная балансовая таблица содержит четыре матрицы: матрицу межотраслевых производственных связей
; матрицу валовой продукции ; матрицу конечной продукции и матрицу чистой продукции 
.
Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта , если известно распределение конечного . Для этого введем коэффициенты прямых затрат
Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х .Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j -й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i -й отраслью. Из выражения (7.3) можно получить: . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (7.1), получим
. (7.4)
Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как 
, то соотношение баланса (7.4) в матричном виде можно записать в виде
Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового
где 
- единичная матрица того же размера, что и А
.
Пример 7.1
. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида 
и матрицу валовой продукции вида . Необходимо определить конечный продукт Y
и чистый продукт C
каждой отрасли.
Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. В результате получим основную балансовую таблицу:
| Отрасль | Потребление отраслей, | Конечный продукт, | Валовойпродукт, | |||
| Чистый продукт, | S = 210 | S = 400 |
Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовой продукт окажется равным 
. Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:i
-й отрасли.
Пример 7.2 . В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами , . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу
Предположим, что на будущий период планируется конечная продукция в объемах . Нужно определить, какой валовой продукт при этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат:
Можно выделить следующие причины, по которым экономические системы являются стохастическими:
1) система сложная, многокритериальная, описывается многоуровневой иерархической структурой;
2) система подвержена влиянию большого числа неуправляемых внешних факторов (погодные условия, внешняя политика, социальные факторы и т. д.);
3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.
Исходя из этого для моделирования многих экономических систем используют математические методы, основанные на применении законов теории вероятностей, которые получили название стохастических методов .
При применении стохастических методов оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при заданных параметрах необходимо найти такое решение, когда значение целевой функции в среднем будет максимальным.
Стохастические системы в экономике описываются марковским аппаратом, в основе которого лежат марковские случайные процессы . Они применяются в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой многопараметрическую вероятностную экономическую систему.