Służy do ustalenia Najlepszym sposobem dystrybucja ograniczonych zasobów w obliczu konkurencyjnych potrzeb. Według ankiety przeprowadzonej przez magazyn Fortune wśród wiceprezesów ds. produkcji z 500 firm, modeli Programowanie liniowe i zarządzanie zapasami są najbardziej popularne w branży. Programowanie liniowe jest zwykle wykorzystywane przez specjalistów centrali do rozwiązywania problemów produkcyjnych. Niektóre typowe aplikacje zastosowania tej metody w zarządzaniu produkcją przedstawiono w tabeli. 4.

Tabela 4. Typowe zastosowania programowania liniowego w zarządzaniu produkcją

Zintegrowane planowanie produkcji. Sporządzanie harmonogramów produkcji minimalizujących koszty całkowite, uwzględniających koszty zmiany stóp procentowych, określone ograniczenia zasobów pracy i stany zapasów.

Planowanie asortymentu. Określenie optymalnego asortymentu produktów, w którym każdy rodzaj ma swoje własne koszty i wymagania surowcowe (na przykład określenie optymalnej struktury produkcji komponentów do benzyny, farb, żywności dla ludzi, pasz dla zwierząt).

Kierowanie produkcją wyrobów. Określenie optymalnego trasę technologiczną wytworzenie produktu, który musi przejść kolejno przez kilka centrów przetwarzania, przy czym każde działanie centrum charakteryzuje się własnymi kosztami i produktywnością.

Kontrola procesu. Minimalizacja uzysku wiórów podczas cięcia stali, odpadów skórzanych lub tkanin w rolce lub panelu.

Regulacja zapasów. Ustalenie optymalnej kombinacji produktów w magazynie lub obiekcie magazynowym.

Tworzenie terminarza produkcji. Tworzenie harmonogramów minimalizujących koszty, uwzględniających koszty utrzymania zapasów, płacenia za nadgodziny i zlecenia zewnętrzne.

Planowanie dystrybucji produktów. Opracowanie optymalnego harmonogramu wysyłek z uwzględnieniem dystrybucji produktów pomiędzy zakładami produkcyjnymi a magazynami, magazynami i sklepami detalicznymi.

Określenie optymalnej lokalizacji dla nowego zakładu. Określenie najlepszej lokalizacji poprzez oszacowanie kosztów transportu pomiędzy alternatywnymi lokalizacjami nowego zakładu a miejscami jego zaopatrzenia i dystrybucji.

Planowanie transportu. Minimalizacja kosztów dostarczania samochodów ciężarowych do załadunku i transportu statków do nabrzeży załadunkowych.

Rozkład pracowników. Minimalizacja kosztów przy rozmieszczeniu pracowników pomiędzy maszynami i stanowiskami pracy.

Ponowny załadunek materiałów. Minimalizacja kosztów przy kierowaniu ruchem sprzętu do przeładunku materiałów (np. wózków widłowych) pomiędzy oddziałami zakładu oraz dostarczanie materiałów z magazynu otwartego do miejsc ich przerobu samochodami ciężarowymi o różnej ładowności i różnych parametrach technicznych i ekonomicznych.

Poniższy przykład ilustruje prosta sytuacja, w którym do podjęcia decyzji należy zastosować model programowania liniowego. Kierownik produkcji musi zdecydować, ile galonów każdego z trzech rodzajów farb należy wyprodukować, aby uzyskać najwyższy zysk. Rozwiązanie ma kilka ograniczeń:

1. Dostępnych jest tylko 40 tysięcy funtów odczynników wyjściowych – 10 tysięcy funtów odczynnika A, 18 tysięcy funtów odczynnika B i 12 tysięcy funtów odczynnika C.

2. Czas całkowity praca sprzętu 30 tys. godzin.

3. Jeden galon farby typu 1 wymaga jednego funta odczynnika A, 3/4 funta odczynnika B i 1 1/2 funta odczynnika C oraz 1/8 godziny pracy sprzętu. Jeden galon farby typu 2 wymaga jednego funta odczynnika A, 1/2 funta odczynnika B i 3/4 funta odczynnika C oraz 1/4 godziny pracy sprzętu. Na jeden galon farby typu 3 zużywa się 1 1/4 funta odczynnika A, 1 1/4 funta odczynnika B i 1 1/2 odczynnika C przy czasie pracy wynoszącym 1/6 godziny.

4. Zysk netto ze sprzedaży jednego galona farb typu 1, 2 i 3 wynosi odpowiednio 0,80 dolara, 0,65 dolara i 1,25 dolara.

Zadanie ilustruje rys. 7. Korzystając z liniowego modelu programowania, kierownik może określić, ile każdego rodzaju farby należy wyprodukować, biorąc pod uwagę znane zapasy odczynników i dostępny czas pracy sprzętu, a także biorąc pod uwagę udział każdego rodzaju farby w zysk. Bez takiego modelu niezwykle trudno jest podjąć optymalną decyzję nawet w stosunkowo prostej sytuacji.

Ryż. 7. Liniowy model programowania(programowanie liniowe służy do rozwiązywania problemów z kilkoma zmiennymi, np. problemów z asortymentem kolorów w tekście).

Modele programowania liniowego służą do określenia optymalnego sposobu alokacji ograniczonych zasobów w obecności konkurencyjnych potrzeb. Ten typ modele są najczęściej spotykane w przedsiębiorstwach przemysłowych. Chodzi o to, że to pomaga

maksymalizować zysk poprzez posiadanie kilku zasobów, z których każdy jest wykorzystywany do produkcji kilku rodzajów dóbr. Zazwyczaj przy rozwiązywaniu optymalizacji tego typu modelu najczęściej stosuje się metodę Simplex.

Modelowanie symulacyjne

Symulacja odnosi się do procesu tworzenia modelu i eksperymentalnego wykorzystania go w celu określenia zmian w rzeczywistej sytuacji. Symulację stosuje się w sytuacjach, które są zbyt złożone dla metod matematycznych, takich jak programowanie liniowe. Eksperymentując na modelu systemu, można ustalić, jak będzie on reagował na określone zmiany lub zdarzenia w czasie, gdy nie ma możliwości obserwacji tego systemu w rzeczywistości.

Analiza ekonomiczna

Analiza ekonomiczna jest jedną z najpowszechniejszych metod modelowania, choć nie jest postrzegana jako modelowanie. Analiza ekonomiczna obejmuje niemal wszystkie metody oceny kosztów i korzyści ekonomicznych, a także względnej rentowności przedsiębiorstwa. Analiza ekonomiczna obejmuje analizę progu rentowności, określenie zysku z zainwestowanego kapitału, wysokość zysku netto ten moment czas itp. modele te są szeroko stosowane w rachunkowości i rachunkowości finansowej.

Podejmując decyzję, niezależnie od zastosowanych modeli, obowiązują pewne zasady decyzyjne. Reguła decyzyjna to kryterium, według którego dokonuje się oceny optymalności danego konkretnego wyniku. Istnieją dwa rodzaje zasad. Jeden wykorzystuje wartości liczbowe prawdopodobnych wyników, drugi wykorzystuje podane wartości.

DO pierwszy typ Obowiązują następujące zasady decyzyjne: Rozwiązanie Maximax to decyzja, w której podejmowana jest decyzja o maksymalizacji maksymalnego możliwego dochodu. Metoda ta jest bardzo optymistyczna, to znaczy nie uwzględnia ewentualnych strat i dlatego jest najbardziej ryzykowna.

Rozwiązanie Maximin to decyzja maksymalizująca minimalny możliwy dochód. Metoda ta uwzględnia w większym stopniu negatywne aspekty różnych wyników i stanowi ostrożniejsze podejście do podejmowania decyzji.

Rozwiązanie Minimax to rozwiązanie minimalizujące maksymalne straty. Jest to najbardziej ostrożne podejście do podejmowania decyzji i najbardziej świadome ryzyka. Straty uwzględniają tutaj nie tylko straty rzeczywiste, ale także utracone

możliwości.

Kryterium Gurvicha. Kryterium to stanowi kompromis pomiędzy rozwiązaniami maximin i maximax i jest jednym z najbardziej optymalnych.

Współ. drugi typ podejmowanie decyzji oznacza decyzje, w których oprócz samych możliwych zysków i strat bierze się pod uwagę prawdopodobieństwo wystąpienia każdego wyniku. DO ten typ podejmowaniu decyzji obejmują na przykład regułę największej wiarygodności i matematyczną regułę optymalizacji oczekiwań. Za pomocą tych metod zwykle sporządzana jest tabela dochodów, która wskazuje wszystkie możliwe opcje dochodu i prawdopodobieństwo ich wystąpienia. Stosując regułę największej wiarygodności, wybiera się jeden z wyników o największym prawdopodobieństwie, zgodnie z jedną z reguł pierwszego typu.

Stosując regułę optymalizacji oczekiwań matematycznych, obliczamy oczekiwania matematyczne pod kątem zysków lub strat, a następnie wybierana jest opcja optymalna.

Ponieważ wartości prawdopodobieństwa zmieniają się w czasie, zastosowanie reguł drugiego typu zwykle polega na testowaniu reguł wrażliwości na zmiany prawdopodobieństw wyników.

Dodatkowo do określenia postaw ryzykownych wykorzystuje się pojęcie użyteczności. Oznacza to, że dla każdego możliwego wyniku oprócz prawdopodobieństwa obliczana jest użyteczność tego wyniku, która jest również brana pod uwagę przy podejmowaniu decyzji.

Do zatwierdzenia optymalne rozwiązania stosowane są następujące metody:

matryca płatności;

drzewo decyzyjne;

metody prognozowania.

Matryca płatności– jedna z metod statystycznej teorii decyzji, która pomaga menedżerowi w wyborze jednej z kilku opcji. Jest to szczególnie przydatne w sytuacji, gdy menedżer musi określić, która strategia najbardziej przyczyni się do osiągnięcia celów. W samym ogólna perspektywa macierz oznacza, że ​​płatność zależy od pewne wydarzenia które faktycznie mają miejsce. Jeśli zdarzenie lub stan natury w rzeczywistości nie wystąpią, płatność niezmiennie będzie inna.

Generalnie matryca płatności przydaje się, gdy:

istnieje rozsądnie ograniczona liczba alternatyw lub opcji strategicznych do wyboru.

To, co może się wydarzyć, nie jest znane z całkowitą pewnością. wyniki podjęta decyzja zależy od tego, który wariant zostanie wybrany i jakie zdarzenia faktycznie mają miejsce.

Ponadto menedżer musi potrafić obiektywnie ocenić prawdopodobieństwo wystąpienia istotnych zdarzeń i obliczyć oczekiwaną wartość tego prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo wpływa bezpośrednio na określenie wartości oczekiwanej – główna koncepcja macierzy wypłat. Oczekiwana wartość alternatywy lub opcji to suma możliwych wartości pomnożona przez odpowiednie prawdopodobieństwa.

Określając oczekiwaną wartość każdej alternatywy i układając wyniki w formie macierzy, menedżer może łatwo wybrać najbardziej optymalną opcję.

Drzewo decyzyjne– metoda nauk o zarządzaniu – schematyczne przedstawienie problemu decyzyjnego – służy do wyboru najlepszego sposobu działania spośród dostępnych opcji.

Metodę drzewa decyzyjnego można zastosować zarówno w sytuacjach, w których stosowana jest matryca płatności, jak i nie tylko trudne sytuacje, w którym wyniki jednej decyzji wpływają na kolejne decyzje. Oznacza to, że drzewo decyzyjne jest wygodną metodą podejmowania decyzji sekwencyjnych.

Metody prognozowania

Prognozowanie to metoda wykorzystująca zarówno doświadczenia z przeszłości, jak i aktualne założenia dotyczące przyszłości, aby je określić. Wynik wysokiej jakości prognozowania może służyć jako podstawa planowania. Wyróżnia się różne rodzaje prognoz: prognozy gospodarcze, prognozy technologiczne, prognozy konkurencji, prognozy oparte na ankietach i badaniach, prognozy społeczne.

Stosowane są wszystkie rodzaje prognoz różne metody prognozowanie.

Metody prognozowania obejmują:

metody nieformalne;

metody ilościowe;

metody jakościowe.

Metody nieformalne obejmują następujące rodzaje informacji: Informacje ustne– To najczęściej wykorzystywana informacja do analizy otoczenia zewnętrznego. Obejmuje to informacje z audycji radiowych i telewizyjnych, od dostawców, od konsumentów, od konkurencji, z różnych spotkań i konferencji, od prawników, księgowych i konsultantów. Ten

informacja jest łatwo dostępna, wpływa na wszystkie główne czynniki otoczenia zewnętrznego, które interesują organizację. Jest ono jednak bardzo zmienne i często niedokładne.

Informacje pisemne– to informacje z gazet, czasopism,

biuletyny, raporty roczne. Ta informacja ma

same zalety i wady, co informacja ustna.

Szpiegostwo przemysłowe

Ilościowe metody prognozowania stosuje się je, gdy istnieją podstawy, aby sądzić, że działalność w przeszłości przebiegała według wzorca, który prawdopodobnie będzie kontynuowany w przyszłości, oraz gdy istnieją wystarczające informacje, aby zidentyfikować takie tendencje. Metody ilościowe obejmują:

Analiza szeregów czasowych. Opiera się na założeniu, że to, co wydarzyło się w przeszłości, pozwala na dość dobre przybliżenie przyszłości. Odbywa się to za pomocą tabeli lub wykresu. Modelowanie przyczynowo-skutkowe (przypadkowe). Najbardziej złożona matematycznie metoda prognozowania ilościowego. Używane w sytuacjach, w których występuje więcej niż jedna zmienna. Modelowanie swobodne polega na prognozowaniu poprzez badanie związku statystycznego pomiędzy rozważanym czynnikiem a innymi zmiennymi. Spośród zwykłych modeli predykcyjnych najbardziej złożone są modele ekonometryczne, opracowany w celu przewidywania dynamiki gospodarczej.

Jakościowe metody prognozowania polega na prognozowaniu przyszłości przez ekspertów. Istnieją 4 najpopularniejsze metody prognozowania jakościowego:

Opinia jury– łączenie i uśrednianie opinii ekspertów z odpowiednich dziedzin. Nieformalna wersja tej metody to „ burza mózgów" Zbiorcza opinia marketerów. Opinia dealerów lub firm handlowych jest bardzo cenna, ponieważ mają oni bezpośredni kontakt z konsumentami końcowymi i znają ich potrzeby.

Model oczekiwań konsumentów– prognoza oparta na wynikach ankiety przeprowadzonej wśród klientów organizacji.

Metoda ocen eksperckich. Jest to procedura pozwalająca osiągnąć porozumienie grupie ekspertów. Stosując tę ​​metodę, eksperci z różne obszary wypełnij ankietę w tej sprawie. Następnie otrzymują kwestionariusze wypełnione przez innych ekspertów i proszeni są o ponowne rozważenie swojej opinii lub uzasadnienie swojej pierwotnej. Procedurę powtarza się 3-4 razy, aż do osiągnięcia wspólnego rozwiązania. Co więcej, wszystkie ankiety są anonimowe, tak jak sami eksperci są anonimowi, czyli eksperci nie

wiedzieć, kto jeszcze jest w grupie.

Sytuacja akceptacji strategiczny decyzje pogarsza fakt, że w republice nie ma jeszcze wystarczającej liczby wysoko wykwalifikowanej kadry kierowniczej, czyli menedżerów przeszkolonych do zarządzania

i podejmować decyzje w gospodarce rynkowej. Dotyczy to zarówno przedsiębiorstw i organizacji, jak i rządu. Ponadto stale zmieniające się ramy prawne nie pozwalają na tworzenie długoterminowych prognoz, na podstawie których można by podejmować strategiczne decyzje.

Podstawa szkolenia menedżerów dopiero się rozwija, ale z powodu ogólnego kryzysu

oraz kryzys systemu edukacji uczelnie nie są w stanie przygotować odpowiednio wykwalifikowanych menedżerów. Aby być prawdziwym menedżerem, trzeba między innymi mieć duże doświadczenie zawodowe. Jeśli chodzi o akceptację taktyczny decyzji, wtedy sytuacja jest lepsza. Decyzje taktyczne są w mniejszym stopniu zależne od czasu, dlatego szybko zmieniająca się i mało przewidywalna sytuacja stwarza mniej przeszkód w podjęciu właściwej decyzji. Jednak i tutaj nie wszystko jest gładkie. Dzieje się tak dlatego, że z powodu braku istotna informacja Nie zawsze możliwe jest podejmowanie decyzji przy wykorzystaniu metod naukowych (modelowanie, prognozowanie itp.). Duża liczba menedżerowie na ogół nie są zaznajomieni z naukowymi metodami podejmowania decyzji stosowanymi w naukach o zarządzaniu.

Ponadto w naszym kraju brakuje infrastruktury informacyjnej, która by na to pozwalała krótki czas i oszczędnie uzyskiwać informacje potrzebne do podejmowania decyzji. Jest na dość niskim poziomie umiejętność obsługi komputera. Nie ma wystarczającej liczby wyspecjalizowanych organizacji, które mogłyby prowadzić różne badania. Dużą wadą są także niedoskonałe i ciągle zmieniające się ramy prawne, obecność korupcji w strukturze władzy.

Nie dotyczy to jednak wszystkich sektorów gospodarki. W sektorze finansowo-bankowym, ściśle kontrolowanym przez NBM, sytuacja w zakresie podejmowania decyzji, mimo kryzysu, jest lepsza. Wynika to z faktu, że w bankach, wraz z pokoleniem menedżerów wykształconych w okresie istnienia systemu zarządzania administracyjno-decyzyjnego, występuje duża liczba młodych kadr (25-35 lat). Nowe pokolenie, które studiowało zarządzanie i skutki jego stosowania w krajach rozwiniętych, stara się wykorzystać zdobytą wiedzę. Braki w doświadczeniu rekompensuje obecność bardziej doświadczonych menadżerów. Dodatkowo w większym stopniu stosowana jest tu zasada delegowania uprawnień, co również zwiększa optymalność podejmowanych decyzji. Banki Mołdawii

utrzymywać połączenia z bankami w krajach rozwiniętych, co pozwala menedżerom różne poziomy sektora bankowego, aby zapoznać się z pracą menedżerów w krajach rozwiniętych.

Proces podejmowania decyzji jest procesem psychologicznym. Ludzie nie zawsze podejmują logiczne decyzje. Decyzje wahają się od spontanicznych do wysoce logicznych. Dlatego procesy decyzyjne dzielą się na intuicyjne, oparte na osądach i racjonalne, chociaż decyzje rzadko mieszczą się w jednej kategorii.

Intuicyjne rozwiązanie to decyzja podejmowana wyłącznie na podstawie przeczucia menedżera, że ​​jest ona słuszna. Jednocześnie menedżer nie rozważa wszystkich możliwych opcji, nie bierze pod uwagę wszystkich ich zalet i wad i nie musi rozumieć sytuacji. Decyzje oparte na wyroku często wydają się intuicyjne, więc logika nie jest oczywista. Taka decyzja jest wyborem opartym na wiedzy lub zgromadzonym doświadczeniu. Osoba wykorzystuje wiedzę o tym, co wydarzyło się wcześniej w podobnych sytuacjach, aby przewidzieć wynik alternatywnych decyzji w istniejącej sytuacji. Ta metoda podejmowania decyzji ma zarówno pozytywne, jak i strony negatywne. Pozytywem jest to, że rzeczywiście wiele sytuacji się powtarza i zastosowanie tej metody podejmowania decyzji pozwala zaoszczędzić czas i pieniądze, gdyż decyzję podejmuje menadżer bardzo szybko i bez konieczności zbierania środków Dodatkowe informacje i jego analiza. Jednak takie decyzje podejmowane są w oparciu o zdrowy rozsądek, który w prawdziwym tego słowa znaczeniu jest bardzo rzadki. Ponadto informacje, na podstawie których ta decyzja, może zostać zniekształcony przez potrzeby ludzi i inne czynniki. Poza tym osądy nie pozwalają na akceptację właściwe decyzje w sytuacjach wyjątkowych lub zupełnie nowych, gdyż decydent nie posiada niezbędnego doświadczenia, aby uzasadnić wybór. Ponieważ osąd zawsze opiera się na doświadczeniu, zmienia orientację podejmowania decyzji w kierunku znanym menedżerowi z poprzednich sytuacji. Może to spowodować, że menedżer przegapi nowe alternatywy.

Decyzja jest podejmowana w warunkach pewności, kiedy menedżer może

dokładnie określić wynik każdego z nich alternatywne rozwiązanie możliwe w tej sytuacji. Stosunkowo niewiele decyzji organizacyjnych lub personalnych jest podejmowanych w warunkach pewności. Jednak nadal występują. Ponadto elementy złożonych, dużych decyzji można postrzegać jako pewne. Poziom pewności w podejmowaniu decyzji zależy od otoczenia zewnętrznego. Zwiększa się, jeśli istnieje

solidne ramy prawne ograniczające liczbę alternatyw i zmniejszające poziom ryzyka.

OPIS MATEMATYCZNY MODELU PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

LINIOWY MODEL PROGRAMOWANIA

1 Opis matematyczny modelu programowania liniowego

2 Metody realizacji modeli programowania liniowego

3 Podwójny problem Programowanie liniowe

Liniowy model programowania(LP) występuje, jeśli w badanym systemie (obiekcie) istnieją ograniczenia dotyczące zmiennych i funkcja celu liniowy.

Modele LP służą do rozwiązywania dwóch głównych typów stosowanych problemów:

1) optymalne planowanie we wszystkich sferach działalności człowieka - społecznej, gospodarczej, naukowej, technicznej i wojskowej. Na przykład przy optymalnym planowaniu produkcji: dystrybucja zasobów finansowych, pracy i innych, dostawa surowców, zarządzanie zapasami itp.

2) problemu transportu(znalezienie optymalnego planu dla różnych rodzajów transportu, optymalnego planu rozmieszczenia różnych środków pomiędzy obiektami do różnych celów i tak dalej.)

OPIS MATEMATYCZNY MODELU PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

Trzeba znaleźć wartości nieujemne zmienne

spełnianie więzów liniowych w postaci równości i nierówności

,

Gdzie – podane liczby,

i zapewnienie ekstremum liniowej funkcji celu

,

gdzie są podane liczby, które są zapisane w formie

Prawidłowe rozwiązanie nazywa się dowolną kolekcję , spełniający warunki.

Region dopuszczalne rozwiązania – zbiór wszystkich możliwych rozwiązań.

Optymalne rozwiązanie
, dla którego .

Notatki

1. Podany model LP to ogólny. Istnieje również standard I kanoniczny formy modeli LP.

2. Warunki istnienia implementacja modelu LP:

– zbiór możliwych rozwiązań nie jest pusty;

- funkcja celu jest ograniczona przez (przynajmniej od góry przy poszukiwaniu maksimum i od dołu przy poszukiwaniu minimum).

3.LP opiera się na dwóch twierdzeniach

Twierdzenie 1. Pęczek G, określony przez system ograniczeń postaci, jest zbiorem zamkniętym wypukłym ( wypukły wielościan z punktami narożnymi - szczyty.)

Twierdzenie 2. Forma liniowa , zdefiniowany na wielościanie wypukłym

J=1,2,…,S

ja=s+1,s+2,…, M,

osiąga ekstremum w jednym z wierzchołków tego wielościanu.

Twierdzenie to nazywa się twierdzeniem o ekstremum postaci liniowej.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne i stanowi ekstremum globalne.

Istnieje ogólne podejście analityczne do realizacji modelu LP – metody simplex. Przy rozwiązywaniu problemów związanych z programowaniem liniowym dość często nie ma rozwiązania. Dzieje się tak z następujących powodów.

Zilustrujmy pierwszy powód przykładem

Z tego powodu mówią, że ograniczenia są niezgodne. Obszar dopuszczalnych rozwiązań jest zbiorem pustym.

Drugi powód ilustruje następujący przykład:

W w tym przypadku, zakres możliwych rozwiązań nie jest ograniczony od góry. Zakres możliwych rozwiązań nie jest ograniczony.

Podążając za tradycjami programowania liniowego, podamy problem LP interpretacja ekonomiczna. Miejmy do dyspozycji M rodzaje zasobów. Ilość typu zasobu J równa się . Zasoby te są potrzebne do produkcji N rodzaje towarów. Oznaczmy ilość tych dóbr za pomocą symboli odpowiednio. Typ jednostki I koszty. Produkcja typu towaru I powinno być ograniczone wartościami odpowiednio. Do produkcji jednostki typu produktu I typ zasobu jest zużywany J. Konieczne jest ustalenie takiego planu produkcji towarów ( ), tak aby ich całkowity koszt był minimalny.

Zadania programowania liniowego stosowane do optymalizacji funkcjonowania obiektów rzeczywistych zawierają znaczną liczbę zmiennych i ograniczeń. To uniemożliwia ich rozwiązanie metody graficzne. Na duża liczba zmiennych i ograniczeń stosuje się metody algebraiczne, które opierają się na iteracyjnych procedurach obliczeniowych. W programowaniu liniowym opracowano wiele metod algebraicznych, różniących się sposobami konstruowania początkowego rozwiązania wykonalnego oraz warunkami przejścia z jednej iteracji do drugiej. Jednak wszystkie te metody opierają się na ogólnych zasadach teoretycznych.

Wspólność podstawowych zasad teoretycznych powoduje, że algebraiczne metody rozwiązywania problemów programowania liniowego są do siebie w dużym stopniu podobne. W szczególności prawie każdy z nich wymaga wstępnego sprowadzenia problemu programowania liniowego do postaci standardowej (kanonicznej).

Metody algebraiczne rozwiązania problemu LP zaczynają się od zredukowania go do forma standardowa (kanoniczna).:

,

,

I=1,..,N;J=1,..,M.

Każdy problem programowania liniowego można sprowadzić do postaci standardowej. Porównanie model ogólny z modelem kanonicznym pozwala stwierdzić, że w celu sprowadzenia problemu LP do postaci standardowej należy po pierwsze przejść od układu nierówności do równości, a po drugie przekształcić wszystkie zmienne tak, aby były nieujemne .

Przejście do równości odbywa się poprzez dodanie nieujemnej zmiennej resztowej po lewej stronie ograniczeń dla nierówności typu i odjęcie od lewej strony nieujemnej zmiennej resztowej dla nierówności typu. Na przykład nierówność przy przejściu do postaci standardowej jest konwertowany na równość , nierówność - w równość . W tym przypadku zarówno zmienna rezydualna, jak i zmienna nadmiarowa są nieujemne.

Zakłada się, że prawa część nierówności nie są ujemne. W innym przypadku można to osiągnąć mnożąc obie strony nierówności przez „-1” i zmieniając jej znak na przeciwny.

Jeśli w oryginalny problem programowanie liniowe, zmienna nie jest ograniczona znakiem, można ją przedstawić jako różnicę dwóch zmiennych nieujemnych , Gdzie .

Ważna funkcja zmienne jest to, że dla każdego wykonalnego rozwiązania tylko jedno z nich może przyjąć wartość dodatnią. Oznacza to, że jeśli , To i wzajemnie. Można ją zatem uznać za zmienną resztową i - za zmienną redundantną.

Przykład Niech będzie dane zadanie programowania liniowego:

,

.

Należy to doprowadzić do standardowej formy. Należy zauważyć, że pierwsza nierówność pierwotnego problemu ma znak , dlatego konieczne jest wprowadzenie do niej zmiennej resztowej. W rezultacie otrzymujemy.

Druga nierówność ma znak i aby przekształcić ją do postaci standardowej, wymaga wprowadzenia zmiennej nadmiarowej, po wykonaniu tej operacji otrzymujemy .

Ponadto zmienna nie jest ograniczona znakiem. Dlatego zarówno w funkcji celu, jak i w obu ograniczeniach należy ją zastąpić różnicą . Po wykonaniu podstawienia otrzymujemy zadanie programowania liniowego w postaci standardowej, równoważne zadaniu pierwotnemu:

.

Problem programowania liniowego, zapisany w postaci standardowej, to problem znalezienia ekstremum funkcji celu na zbiorze wektorów będących rozwiązaniami układu równania liniowe biorąc pod uwagę warunki nieujemności. Jak wiadomo, układ równań liniowych może nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Optymalizacja funkcji celu jest możliwa tylko wtedy, gdy system ma nieskończoność wiele rozwiązań. Układ równań liniowych ma nieskończoną liczbę rozwiązań, jeśli jest spójny (rząd macierzy głównej równy rangi rozszerzony) i jeśli stopień macierzy głównej jest mniejszy niż liczba niewiadomych.

Niech ranga macierzy układu więzów będzie równa M. Oznacza to, że macierz ma co najmniej jeden element drugorzędny M nie w kolejności równy zeru. Bez utraty ogólności możemy założyć, że moll znajduje się po lewej stronie górny róg matryce. Zawsze można to osiągnąć poprzez zmianę numeracji zmiennych. To niezerowy drugorzędny rangi M zwykle nazywa się podstawowym. Stwórzmy system od początku M równania układu, zapisując je w następujący sposób:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MODELE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO - modele matematyczne rozwiązywania problemów ekonomicznych, prezentowane w postaci problemów programowania liniowego. Funkcja celu, powiązania i w takim modelu wyrażane są w postaci równań liniowych.

Ekonomia i prawo: słownik-podręcznik. - M.: Uniwersytet i szkoła. L. P. Kurakov, V. L. Kurakov, A. L. Kurakov. 2004 .

Zobacz, jakie „MODELE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO” znajdują się w innych słownikach:

Matematyczne modele rozwiązań zadania gospodarcze, przedstawione w postaci problemów programowania liniowego. Funkcja celu, powiązania i ograniczenia w takim modelu wyrażone są w postaci zależności liniowych. Raizberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B.... Słownik ekonomiczny

modele programowania liniowego- modele matematyczne rozwiązywania problemów ekonomicznych, prezentowane w postaci problemów programowania liniowego. Funkcja celu, powiązania i ograniczenia w takim modelu wyrażone są w postaci zależności liniowych... Słownik terminów ekonomicznych

MODEL PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZARZĄDZANIU- rodzaj modelu stosowanego do określenia optymalnego sposobu alokacji ograniczonych zasobów w obecności konkurencyjnych potrzeb. Typowe zastosowania tej metody w zarządzaniu produkcją to: planowanie asortymentu produktów; ... Duży słownik ekonomiczny

Modele w ekonomii stosowane są od XVIII wieku. W „Tabelach ekonomicznych” F. Quesnaya, które K. Marks nazwał tą ideą „...bezsprzecznie najbardziej błyskotliwą ze wszystkiego, co ekonomia polityczna przedstawiła dotychczas” (Marx K. i Engels F., Works, .. ..

I Modele biologiczne służą do modelowania (patrz Modelowanie) struktur biologicznych, funkcji i procesów różne poziomy organizacja istot żywych: molekularna, subkomórkowa, komórkowa, narządowo-układowa, organizmowa i populacyjna... Duży Encyklopedia radziecka

Modele obiektów lub procesów gospodarczych, do opisu których wykorzystuje się środki matematyczne. Cele tworzenia E.M.M. są zróżnicowane: mają na celu analizę pewnych warunków wstępnych i postanowień teoria ekonomiczna, logiczne... ... Wielka encyklopedia radziecka

- (niedobór) Własność (towarów lub czynniki produkcyjne), polegające na tym, że przy cenie zerowej popyt na nie (w stosunku do podaży) będzie nadmiernie wysoki. Oznacza to, że w równowadze cena rzadkiego dobra lub czynnika... ... Słownik ekonomiczny

Budowa, rozwój i zastosowania matematyki. modele podejmowania optymalnych decyzji. Treść teoretyczna aspekt I. o. to analiza i rozwiązywanie zadań matematycznych. problemy selekcji w danym zbiorze dopuszczalnych rozwiązań elementu X spełniającego te lub ... Encyklopedia matematyczna

- (prace badawczo-rozwojowe, badania stosowane, badania i prace rozwojowe) – Badania naukowe mające na celu rozwiązanie problemów społecznych problemy praktyczne. Nauka jest sferą działalności człowieka, której funkcją jest rozwój i rozwój teoretyczny... ...Wikipedii

Dyscyplina matematyczna, której przedmiotem są modele ekonomiczne. obiekty i procesy oraz metody ich badań. Jednakże koncepcje, wyniki, metody M. e. wygodnie i zwyczajowo przedstawia się je w ścisłym powiązaniu z ich ekonomią. pochodzenie, interpretacja i... Encyklopedia matematyczna

Książki

• Metody i modele ekonomiczne i matematyczne w działalności gospodarczej. Podręcznik, GP Fomin. W podręczniku omówiono operacje, wskaźniki ekonomiczne, schemat generowania zysku, strukturę powiązania metod ekonomicznych i matematycznych, metody i modele badań, analiz i...
• Metody i modele optymalizacji decyzji zarządczych. Podręcznik, A. R. Urubkow, I. V. Fiedotow. W podręcznik zarysowano zasady optymalizacji decyzji zarządczych w oparciu o metody i modele programowania liniowego. Przykłady rzeczywistych sytuacji biznesowych pokazują, jak wykorzystując...

Modele programowania liniowego

Wiele zadań spotykanych w codziennej praktyce ma charakter wieloczynnikowy. Zadania te obejmują:

Problem o optymalne wykorzystanie ograniczone zasoby (surowce, praca, czas);

Zadanie planowanie sieci i zarządzanie;

Zadania kolejka;

Planowanie zadań ( planowanie);

Problemy z wyborem trasy i inne.

Wśród wielu możliwe opcje w warunkach relacji rynkowych trzeba szukać najlepsze rozwiązania w pewnym sensie z zastrzeżeniem ograniczeń narzuconych przez możliwości naturalne, ekonomiczne i technologiczne. Rozwiązania takie nazywamy optymalnymi, a problemy i odpowiadające im modele umożliwiające znalezienie tych rozwiązań nazywamy optymalizacją (optymalną). Aparatem matematycznym problemów optymalnego planowania jest programowanie matematyczne.

Programowanie matematyczne - dział matematyki rozwijający teorię i metody numeryczne rozwiązywanie wielowymiarowych problemów ekstremalnych z ograniczeniami, tj. problemów na ekstremum funkcji wielu zmiennych z ograniczeniami dotyczącymi zakresu zmienności tych zmiennych.
Nazywa się funkcję, której ekstremalną wartość należy znaleźć w warunkach możliwości ekonomicznych cel, wskaźnik wydajności Lub kryterium optymalności. Możliwości gospodarcze są sformalizowane w formie systemy ograniczeń. Wszystko to składa się na model matematyczny. Model matematyczny problemy są odzwierciedleniem oryginału w postaci funkcji, równań, nierówności, liczb itp. Model problemu programowanie matematyczne obejmuje:
1) zbiór nieznanych wielkości, na podstawie których można ulepszyć system. Nazywają się plan zadań(wektor kontroli, decyzja, zarządzanie, strategia, zachowanie itp.);
2) funkcja celu (funkcja celu, wskaźnik efektywności, kryterium optymalności, funkcjonalność zadania itp.). Funkcja celu pozwala wybrać najlepszą opcję spośród wielu możliwych. Najlepsza opcja nadaje funkcji celu wartość ekstremalną. Może to być zysk, wielkość produkcji lub sprzedaży, koszty produkcji, koszty dystrybucji, poziom usług lub niedobór, liczba zestawów, odpady itp.;
Warunki te wynikają z ograniczonych zasobów, którymi w danym momencie dysponuje społeczeństwo, z konieczności zaspokojenia pilnych potrzeb, z warunków produkcji i procesy technologiczne. Ograniczone są nie tylko zasoby materialne, finansowe i pracy. Mogą to być możliwości potencjału technicznego, technologicznego i ogólnie naukowego. Często potrzeby przewyższają możliwości ich zaspokojenia. Matematycznie ograniczenia wyraża się w postaci równań i nierówności. Tworzy się ich całość obszar możliwych rozwiązań (obszar możliwości ekonomicznych). Plan spełniający system ograniczeń problemowych nazywany jest planem do przyjęcia. Plan wykonalny, który zapewnia ekstremalną wartość funkcji celu, nazywa się optymalny. Rozwiązanie optymalne, ogólnie rzecz biorąc, niekoniecznie jest unikalne; mogą zdarzyć się przypadki, gdy nie istnieje, istnieje skończona lub nieskończona liczba rozwiązań optymalnych.
Problem z optymalizacją, w którym występuje funkcja celu oraz nierówności (równania) zawarte w układzie więzów funkcje liniowe, nazywany jest problemem programowania liniowego, a odpowiadający mu model ekonomiczny i matematyczny nazywany jest optymalizacyjnym modelem programowania liniowego

Metody i modele programowania liniowego znajdują szerokie zastosowanie w optymalizacji procesów we wszystkich sektorach gospodarki narodowej: przy opracowywaniu programu produkcyjnego przedsiębiorstwa, rozdzielaniu go pomiędzy wykonawców, przy składaniu zamówień pomiędzy wykonawcami i według odstępów czasowych, przy ustalaniu najlepszego asortymentu produktów, w problematyce planowania i zarządzania długoterminowego, bieżącego i operacyjnego; przy planowaniu przepływów ładunków, ustalaniu planu obrotu i jego dystrybucji; w problematyce rozwoju i rozmieszczenia sił wytwórczych, baz i magazynów systemów obiegu zasobów materialnych itp. Metody i modele programowania liniowego są szczególnie szeroko stosowane w rozwiązywaniu problemów oszczędzania zasobów (dobór technologii oszczędzających zasoby, przygotowywanie mieszanek, cięcie materiałów), produkcję, transport i inne zadania.
Programowanie liniowe zapoczątkował w 1939 roku radziecki matematyk-ekonomista L.V. Kantorowicz w swojej pracy „ Metody matematyczne organizacja i planowanie produkcji.” Otwarto pojawienie się tej pracy Nowa scena w zastosowaniu matematyki w ekonomii. Dziesięć lat później rozwinął się amerykański matematyk J. Danzig skuteczna metoda rozwiązywanie tej klasy problemów – metoda simplex. Główny pomysł metoda simplex(metoda konsekwentna poprawa plan) Dla Decyzje PPP następująco:
1) możliwość odnalezienia wstępnego planu odniesienia;
2) obecność znaku optymalności planie referencyjnym;
3) możliwość przejścia na najgorszy plan referencyjny.