Найти собственные значения линейного оператора. Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

- Линейная алгебра

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V . Ненулевой вектор \boldsymbol{s} линейного пространства V , удовлетворяющий условию

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

называется собственным вектором линейного преобразования \mathcal{A} . Число \lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования \mathcal{A} . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению \lambda . Если пространство V вещественное (комплексное), то собственное значение \lambda - действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования \mathcal{A} , если его образ \mathcal{A} (\boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу \boldsymbol{s} . Другими словами, если \boldsymbol{s} - собственный вектор, то преобразование \mathcal{A} имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор \boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению \lambda . Любой вектор \boldsymbol{v} из \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) имеет вид \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{s} , где \alpha - любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Следовательно, \mathcal{A}(\boldsymbol{v})\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) для любого вектора \boldsymbol{v}\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) , т.е. подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) инвариантно относительно преобразования \mathcal{A} . Размерность подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}) равна единице, так как \boldsymbol{s}\ne \boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка называется ненулевой числовой столбец s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_{n}\end{pmatrix}^T , удовлетворяющий условию (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Число \lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы A . При этом считалось, что собственное значение \lambda и числа s_i~(i=1,\ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть \mathcal{A}\colon V\to V - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V с базисом . Тогда собственное значение \lambda и координатный столбец {s} собственного вектора \boldsymbol{s} преобразования \mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы A этого преобразования, определенной относительно базиса \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n , т.е.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s}\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, где \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n,~ s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}^T.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец s=\begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы A , причем числа s_1,\ldots,s_n,\lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство V , то вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+ \ldots+s_n \boldsymbol{e}_n и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V с матрицей A в базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и \lambda\cdot \boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,\ldots,s_n, \lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения \Delta_A(\lambda)=0 , где \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) - характеристический многочлен матрицы A . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы A этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства V .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})} и \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})} линейного преобразования \mathcal{A} в базисах (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n) и (\boldsymbol{f})=(\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n) являются, согласно (9.4), подобными: \nathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})}=S^{-1}\mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})}S , где S - матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к базису (\boldsymbol{f}) . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования \mathcal{A} можно использовать обозначение \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda) , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V линейного пространства V , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу A линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного вещественного линейного пространства V в произвольном базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n . Элементы этой матрицы - действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) - это многочлен степени n с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если - действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T матрицы A также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно \mathcal{A} подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если \lambda=\alpha\pm\beta i - пара комплексных сопряженных корней (\beta\ne0) , то собственный вектор s\ne o матрицы A также с комплексными элементами: s=\begin{pmatrix}x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end{pmatrix}^T . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,\,y - действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

\begin{cases}Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end{cases}

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как \beta\ne0 . Тогда s=o , что противоречит условию s\ne o . Предположим, что x\ne o и столбцы x и y пропорциональны, т.е. существует такое действительное число \gamma , что y=\gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем \begin{cases}Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end{cases} Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-\gamma) , приходим к равенству [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o . Так как x\ne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0 . Поскольку \beta\ne0 , то \gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как \gamma - действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы x и y линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где \boldsymbol{x}= x_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+x_n \boldsymbol{e}_n,~ \boldsymbol{y}= y_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+ y_n \boldsymbol{y}_n . Это подпространство двумерное, так как векторы \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что \begin{cases}\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\alpha \boldsymbol{x}-\beta \boldsymbol{y},\\ \mathcal{A}(\boldsymbol{y})=\beta \boldsymbol{x}+\alpha \boldsymbol{y},\end{cases} т.е. образ любого вектора, принадлежащего \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) , также принадлежит \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) . Следовательно, \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) - двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования \mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V вещественного линейного пространства V следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n линейного пространства V и найти в этом базисе матрицу A преобразования \mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) .

3. Найти все различные действительные корни \lambda_1,\ldots,\lambda_k характеристического уравнения \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0 . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня \lambda=\lambda_1 найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} (A-\lambda_1E)x=o , где r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E) . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования \mathcal{A} , отвечающие собственному значению \lambda_1:

\begin{matrix} \boldsymbol{s}_1=\varphi_{1\,1}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,1}\boldsymbol{e}_n,\\ \boldsymbol{s}_2=\varphi_{1\,2}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,2}\boldsymbol{e}_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol{s}_{n-r}=\varphi_{1\,n-r} \boldsymbol{e}_1+ \ldots+\varphi_{n\,n-r}\boldsymbol{e}_n. \end{matrix}

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

\boldsymbol{s}= C_1 \boldsymbol{s}_1+C_2 \boldsymbol{s}_2+\ldots+ C_{n-r}\boldsymbol{s}_{n-r},

где C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} - произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k линейного преобразования \mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования \mathcal{O}\colon V\to V любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{O}(\boldsymbol{s})=0\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

2. Для тождественного преобразования \mathcal{E}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{E} (\boldsymbol{s})=1\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

3. Для центральной симметрии \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}} (\boldsymbol{s})=(-1)\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

4. Для гомотетии \mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим собственному значению \lambda (коэффициенту гомотетии), так как \mathcal{H}_{\lambda} (\boldsymbol{\boldsymbol{s}})= \lambda\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

5. Для поворота \mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2 плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный \pi , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}) любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{D}(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: \mathcal{D}(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор \Pi_{L_1}\colon V\to V проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2, \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+ \boldsymbol{v}_2)=\boldsymbol{v}_1 для \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1)=1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=0 , так как \Pi_{L_2}(\boldsymbol{v}_2)=0\cdot \boldsymbol{v}_2 \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1= \lambda(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2) возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2 \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2 , для \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1\in L_1,~ \boldsymbol{v}_2\in L_2 . Для этого оператора любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_1\in L_1 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{Z}_{L_1} (\boldsymbol{v}_1)= 1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_2\in L_2 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=-1 , так как \mathcal{Z}_{L_2} (\boldsymbol{v}_2)= (-1)\cdot \boldsymbol{v}_2 . Другие векторы не являются собственными, так как равенство \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2= \lambda(\boldsymbol{}_1+ \boldsymbol{v}_2) возможно либо при \boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{o} , либо при \boldsymbol{v}_2= \boldsymbol{o} .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки O , рассмотрим поворот на угол \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z} , вокруг оси \ell , заданной радиус-вектором \vec{\ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору \vec{\ell} , является собственным, отвечающим собственному значению \lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon T_1\to T_1 , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты \omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) ;

б) с комплексными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) .

Решение. 1. Выберем стандартный базис e_1(t)=\sin{t},~ e_2(t)=\cos{t} и составим в этом базисе матрицу D оператора \mathcal{D}:

D=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\!.

2. Составим характеристический многочлен преобразования \mathcal{D}\colon\, \Delta_{\mathcal{D}}(\lambda)= \begin{vmatrix}-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2+1. .

3. Характеристическое уравнение \lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование \mathcal{D} вещественного пространства T_1(\mathbb{R}) (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование \mathcal{D} комплексного пространства T_1(\mathbb{C}) (случай (б)) имеет комплексные собственные значения \lambda_1,\,\lambda_2 .

4(1). Для корня \lambda_1=i находим фундаментальную систему \varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 0&0\end{pmatrix}\!.

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. \varphi=\begin{pmatrix}i&1 \end{pmatrix}^T .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня \lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) \varphi_2=\begin{pmatrix}-i&1 \end{pmatrix}^T решений однородной системы уравнений (D-\lambda_2E)x=o:

\begin{pmatrix}i&-1\\ 1&i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_2=-i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n → R n .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Пусть дан вектор

, где x 1 , x 2 , …, x n - координаты вектора относительно базиса

и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.
Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)
где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ 1 , λ 2 , …, λ n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12. Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то - собственный вектор

.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n → R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

Если \lambda=\lambda_1 - действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T матрицы A также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно \mathcal{A} подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

\begin{cases}Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end{cases}

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) .

4. Для корня \lambda=\lambda_1 найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} решений однородной системы уравнений (A-\lambda_1E)x=o , где r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E) . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

\boldsymbol{s}= C_1 \boldsymbol{s}_1+C_2 \boldsymbol{s}_2+\ldots+ C_{n-r}\boldsymbol{s}_{n-r},

где C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} - произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k линейного преобразования \mathcal{A} .

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

а) с действительными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) ;

б) с комплексными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) .

Решение. 1. Выберем стандартный базис e_1(t)=\sin{t},~ e_2(t)=\cos{t} и составим в этом базисе матрицу D оператора \mathcal{D}:

D=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\!.

4(1). Для корня \lambda_1=i находим фундаментальную систему \varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 0&0\end{pmatrix}\!.

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. \varphi=\begin{pmatrix}i&1 \end{pmatrix}^T .

\begin{pmatrix}i&-1\\ 1&i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

См. также Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований) В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

С матрицей А, если найдется такое число l, что АХ = lХ.

При этом число l называют собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору Х.

Иными словами, собственный вектор - это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы - квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение - нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным l называют характеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

где l i - собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с 1 , но такие, чтобы векторы Х (1) и Х (2) были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с 1 = 3, тогда Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Убедимся в линейной независимости этих векторов:

12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А * = .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А * = С -1 АС. Вначале найдем С -1 .

С -1 = ;

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 , х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 , х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы . Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразованием матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 , х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 - х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 - (1/10)х 3) 2 + (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм.

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь отрицательный коэффициент -3 при y 1 и два положительных коэффициента 3 и 2 при y 2 и y 3 (а при использовании другого способа мы получили отрицательный коэффициент (-5) при y 2 и два положительных: 2 при y 1 и 1/20 при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма - положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма - положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма - отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма - отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одно из этих чисел отрицательно, а другое - положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = -6 - 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).