Bruksanvisning

Når man utfører empirisk forskning, må man ofte forholde seg til et sett med verdier oppnådd ved stikkprøver. Fra denne serien med verdier er det nødvendig å konstruere en graf av en funksjon der de andre oppnådde verdiene vil passe med maksimal nøyaktighet. Denne metoden, eller snarere løsningen på dette problemet, er tilnærmingen av en kurve, dvs. erstatning av noen objekter eller fenomener med andre som er nær i den opprinnelige parameteren. Interpolasjon er på sin side en type tilnærming. Kurveinterpolasjon er prosessen der kurven til en konstruert funksjon går gjennom de tilgjengelige datapunktene.

Det er et problem veldig nær interpolering, hvis essens vil være å tilnærme originalen kompleks funksjon en annen, mye enklere funksjon. Hvis en separat funksjon er veldig vanskelig å beregne, kan du prøve å beregne verdien på flere punkter, og basert på resultatene som er oppnådd, konstruere (interpolere) mer enkel funksjon. Den forenklede funksjonen vil imidlertid ikke gi data like nøyaktige og pålitelige som den opprinnelige funksjonen.

Interpolasjon via algebraisk binomial, eller lineær interpolasjon
I generelt syn: Interpolering av en gitt funksjon f(x) finner sted, ved å ta en verdi ved punktene x0 og x1 i segmentet med det algebraiske binomiale P1(x) = ax + b. Hvis mer enn to funksjonsverdier er spesifisert, erstattes den ønskede lineære funksjonen med en lineær-stykkevis funksjon, hver del av funksjonen ligger mellom to spesifiserte funksjonsverdier på disse punktene på det interpolerte segmentet.

Finitt forskjellsinterpolasjon
Denne metoden er en av de enkleste og mest utbredte metodene for interpolering. Essensen er å erstatte differensialkoeffisientene til ligningen med differansekoeffisienter. Denne handlingen tar deg til løsningen differensial ligning ved sin forskjellsanalog, med andre ord, å konstruere dens endelige forskjellsskjema

Konstruksjon av en splinefunksjon
I matematisk modellering er en spline en stykkevis gitt funksjon som, med funksjoner som har en enklere på hvert element i partisjonen, har sitt definisjonsdomene. En spline av en variabel konstrueres ved å dele definisjonsdomenet inn i endelig nummer segmenter, og på hver av disse vil spline falle sammen med et eller annet algebraisk polynom. Den maksimale graden som brukes er spline.
Spline-funksjoner for å definere og beskrive overflater i ulike systemer datamodellering.

Mange av oss har møtt uforståelige termer i ulike vitenskaper. Men det er de færreste som ikke lar seg skremme av uforståelige ord, men tvert imot oppmuntrer dem og tvinger dem til å gå dypere inn i faget de studerer. I dag skal vi snakke om noe slikt som interpolasjon. Dette er en metode for å konstruere grafer ved å bruke kjente punkter, som tillater, med en minimumsmengde informasjon om en funksjon, å forutsi dens oppførsel på spesifikke deler av kurven.

Før vi går videre til essensen av selve definisjonen og snakker om det mer detaljert, la oss gå litt dypere inn i historien.

Historie

Interpolasjon har vært kjent siden antikken. Imidlertid skylder dette fenomenet sin utvikling til flere av fortidens mest fremragende matematikere: Newton, Leibniz og Gregory. Det var de som utviklet dette konseptet ved å bruke mer avanserte matematiske teknikker som var tilgjengelig på den tiden. Før dette ble interpolering selvfølgelig brukt og brukt i beregninger, men de gjorde det på helt unøyaktige måter som krevde stor kvantitet data for å bygge en modell mer eller mindre nær virkeligheten.

I dag kan vi til og med velge hvilken interpolasjonsmetode som passer best. Alt er oversatt til dataspråk, som med stor nøyaktighet kan forutsi oppførselen til en funksjon i et bestemt område begrenset av kjente punkter.

Interpolasjon er et ganske snevert konsept, så historien er ikke så rik på fakta. I neste avsnitt skal vi finne ut hva interpolasjon faktisk er og hvordan det skiller seg fra det motsatte - ekstrapolering.

Hva er interpolasjon?

Som vi allerede har sagt, er dette det generelle navnet på metoder som lar deg bygge en graf etter poeng. I skolen gjøres dette hovedsakelig ved å tegne en tabell, identifisere punkter på en graf og grovt tegne linjer som forbinder dem. Siste handling gjøres basert på betraktninger om likheten til funksjonen som studeres med andre, hvis type grafer er kjent for oss.

Imidlertid er det andre, mer komplekse og eksakte måter fullfør oppgaven med å konstruere en punkt-for-punkt-graf. Så interpolasjon er faktisk en "prediksjon" av oppførselen til en funksjon i et spesifikt område begrenset av kjente punkter.

Det er et lignende konsept knyttet til samme område - ekstrapolering. Den representerer også en prediksjon av grafen til en funksjon, men utover de kjente punktene i grafen. Med denne metoden lages en prediksjon basert på oppførselen til en funksjon over et kjent intervall, og deretter brukes denne funksjonen på det ukjente intervallet. Denne metoden er veldig praktisk for praktisk anvendelse og brukes aktivt for eksempel innen økonomi for å forutsi opp- og nedturer i markedet og for å forutsi den demografiske situasjonen i landet.

Men vi har gått bort fra hovedtemaet. I neste avsnitt vil vi finne ut hvilken interpolasjon som skjer og hvilke formler som kan brukes til å utføre denne operasjonen.

Typer interpolasjon

Det meste enkel utsikt er interpolering ved hjelp av nærmeste nabometode. Ved å bruke denne metoden får vi en veldig grov graf bestående av rektangler. Hvis du noen gang har sett en forklaring geometrisk betydning integral på grafen, så vil du forstå hva slags grafisk form vi snakker om.

I tillegg finnes det andre interpolasjonsmetoder. De mest kjente og populære er relatert til polynomer. De er mer nøyaktige og lar deg forutsi oppførselen til en funksjon med et ganske magert sett med verdier. Den første interpolasjonsmetoden vi skal se på er lineær polynominterpolasjon. Dette er den enkleste metoden i denne kategorien, og sannsynligvis har hver av dere brukt den på skolen. Dens essens er å konstruere rette linjer mellom kjente punkter. Som du vet, går en enkelt rett linje gjennom to punkter på et plan, hvis ligning kan finnes basert på koordinatene til disse punktene. Etter å ha konstruert disse rette linjene, får vi en brutt graf, som i det minste, men gjenspeiler de omtrentlige verdiene til funksjonene og i generell disposisjon samsvarer med virkeligheten. Slik utføres lineær interpolasjon.

Avanserte typer interpolasjon

Det er en mer interessant en, men samtidig mer på den harde måten interpolasjon. Den ble oppfunnet av den franske matematikeren Joseph Louis Lagrange. Det er grunnen til at beregningen av interpolasjon ved hjelp av denne metoden er oppkalt etter den: interpolering ved bruk av Lagrange-metoden. Trikset her er dette: hvis metoden er skissert i forrige avsnitt, brukes kun til beregning lineær funksjon, så innebærer utvidelsen av Lagrange-metoden også bruk av polynomer mer høye grader. Men det er ikke så lett å finne selve interpolasjonsformlene for ulike funksjoner. Og jo flere punkter er kjent, jo mer nøyaktig er interpolasjonsformelen. Men det finnes mange andre metoder.

Det finnes en mer avansert beregningsmetode som er nærmere virkeligheten. Interpolasjonsformelen som brukes i den er et sett med polynomer, bruken av hver av dem avhenger av delen av funksjonen. Denne metoden kalles en spline-funksjon. I tillegg er det også måter å gjøre noe slikt som å interpolere funksjoner av to variabler. Det er bare to metoder. Blant dem er bilineær eller dobbel interpolasjon. Denne metoden lar deg enkelt bygge en graf ved å bruke punkter i tredimensjonalt rom. Vi vil ikke berøre andre metoder. Generelt er interpolasjon et universelt navn for alle disse metodene for å konstruere grafer, men mangfoldet av måter denne handlingen kan utføres på tvinger oss til å dele dem inn i grupper avhengig av hvilken type funksjon som er underlagt denne handlingen. Det vil si at interpolasjon, et eksempel vi så på ovenfor, refererer til direkte metoder. Det er også invers interpolasjon, som skiller seg ved at den lar deg beregne ikke direkte, men invers funksjon(det vil si x fra y). Ta i betraktning siste alternativer vi vil ikke, siden det er ganske komplisert og krever godt matematisk grunnlag kunnskap.

La oss gå videre til, kanskje, en av de viktigste delene. Fra den lærer vi hvordan og hvor settet med metoder vi diskuterer brukes i livet.

applikasjon

Matematikk er, som vi vet, vitenskapens dronning. Derfor, selv om du først ikke ser poenget med visse operasjoner, betyr ikke dette at de er ubrukelige. For eksempel ser det ut til at interpolasjon er en ubrukelig ting, ved hjelp av det kan kun bygges grafer, noe de færreste trenger nå. Men for alle beregninger innen teknologi, fysikk og mange andre vitenskaper (for eksempel biologi), er det ekstremt viktig å presentere et ganske fullstendig bilde av fenomenet, samtidig som du har et visst sett med verdier. Verdiene i seg selv, spredt over grafen, gir ikke alltid en klar ide om funksjonen til funksjonen i et spesifikt område, verdiene til dens derivater og skjæringspunkter med aksene. Og dette er veldig viktig for mange områder av livene våre.

Hvordan vil dette være nyttig i livet?

Et spørsmål som dette kan være svært vanskelig å svare på. Men svaret er enkelt: ingen måte. Denne kunnskapen vil ikke være til noen nytte for deg. Men hvis du forstår dette materialet og metodene som disse handlingene utføres på, vil du trene logikken din, som vil være veldig nyttig i livet. Det viktigste er ikke kunnskapen i seg selv, men ferdighetene som en person tilegner seg i prosessen med å studere. Det er ikke for ingenting at det er et ordtak som sier: "Leve for alltid, lær for alltid."

Relaterte konsepter

Du kan selv forstå hvor viktig dette området av matematikk var (og fortsatt er) ved å se på mangfoldet av andre konsepter knyttet til det. Vi har allerede snakket om ekstrapolering, men det er også tilnærming. Kanskje du allerede har hørt dette ordet. Uansett diskuterte vi også hva det betyr i denne artikkelen. Approksimasjon, i likhet med interpolasjon, er begreper knyttet til konstruksjonen av grafer over funksjoner. Men forskjellen mellom den første og den andre er at det er en omtrentlig konstruksjon av en graf basert på lignende kjente grafer. Disse to konseptene er veldig like hverandre, noe som gjør det desto mer interessant å studere hver av dem.

Konklusjon

Matematikk er ikke en så komplisert vitenskap som den ser ut ved første øyekast. Hun er ganske interessant. Og i denne artikkelen prøvde vi å bevise det for deg. Vi så på begreper knyttet til plotting, lærte hva dobbel interpolasjon er, og så på eksempler der det brukes.

Det er en situasjon når du trenger å finne mellomresultater i en rekke kjente verdier. I matematikk kalles dette interpolasjon. I Excel gitt Metoden kan brukes både for tabelldata og for plotting av grafer. La oss se på hver av disse metodene.

Hovedbetingelsen for interpolering er at den ønskede verdien må være innenfor datamatrisen og ikke utenfor grensen. For eksempel, hvis vi har et sett med argumenter 15, 21 og 29, kan vi bruke interpolasjon for å finne funksjonen for argument 25. Men det er ikke lenger noen måte å finne den tilsvarende verdien for argument 30. Dette er hovedforskjellen mellom denne prosedyren og ekstrapolering.

Metode 1: Interpolering for tabelldata

Først av alt, la oss se på applikasjonene for interpolasjon for data som er plassert i en tabell. La oss for eksempel ta en rekke argumenter og deres tilsvarende funksjonsverdier, hvis forhold kan beskrives lineær ligning. Disse dataene er vist i tabellen nedenfor. Vi må finne den tilsvarende funksjonen for argumentet 28 . Den enkleste måten å gjøre dette på er å bruke operatøren FORUTSIGELSE.

Metode 2: Interpoler grafen ved å bruke innstillingene

Interpolasjonsprosedyren kan også brukes ved konstruksjon av funksjonsgrafer. Det er relevant hvis tabellen som grafen er basert på ikke angir tilsvarende funksjonsverdi for ett av argumentene, som i bildet nedenfor.

Som du kan se, er grafen korrigert, og gapet er fjernet ved hjelp av interpolasjon.

Metode 3: Interpoler grafen ved hjelp av en funksjon

Du kan også interpolere grafen ved hjelp av spesiell funksjon ND. Den returnerer udefinerte verdier i den angitte cellen.

Du kan gjøre det enda enklere uten å løpe Funksjonsveiviser, og bruk bare tastaturet til å skrive inn verdien i en tom celle "#N/A" uten sitater. Men det avhenger av hva som er mer praktisk for hvilken bruker.

Som du kan se, i Excel kan du interpolere som tabelldata ved å bruke funksjonen FORUTSIGELSE, og grafikk. I sistnevnte tilfelle kan dette gjøres ved å bruke kartinnstillingene eller ved å bruke funksjonen ND, forårsaker en feil "#N/A". Valget av hvilken metode som skal brukes avhenger av problemformuleringen, så vel som brukerens personlige preferanser.

Interpolasjon. Introduksjon. Generell beskrivelse av problemet

Ved løsning av ulike praktiske problemer forskningsresultater presenteres i form av tabeller som viser avhengigheten av en eller flere målte størrelser på en definerende parameter (argument). Denne typen tabeller presenteres vanligvis i form av to eller flere rader (kolonner) og brukes til å danne matematiske modeller.

Tabellspesifisert i matematiske modeller funksjoner er vanligvis skrevet i tabeller med formen:

Den begrensede informasjonen gitt av slike tabeller krever i noen tilfeller å oppnå verdiene til funksjonene Y j (X) (j=1,2,...,m) på punktene X som ikke sammenfaller med nodalpunktene i tabell X i (i=0,1,2,…,n) . I slike tilfeller er det nødvendig å bestemme et analytisk uttrykk φ j (X) for å beregne omtrentlige verdier av funksjonen under studie Y j (X) ved vilkårlig spesifiserte punkter X. Funksjonen φ j (X) som brukes til å bestemme de omtrentlige verdiene til funksjonen Y j (X) kalles en tilnærmingsfunksjon (fra latin approximo - nærmer seg). Nærheten til den tilnærmede funksjonen φ j (X) til den tilnærmede funksjonen Y j (X) sikres ved å velge riktig tilnærmingsalgoritme.

Vi vil gjøre alle videre betraktninger og konklusjoner for tabeller som inneholder de første dataene for en funksjon som studeres (dvs. for tabeller med m=1).

1. Interpoleringsmetoder

1.1 Uttalelse av interpolasjonsproblemet

Oftest, for å bestemme funksjonen φ(X), brukes en formulering, kalt formuleringen av interpolasjonsproblemet.

I denne klassiske formuleringen av interpolasjonsproblemet er det nødvendig å bestemme den omtrentlige analytiske funksjonen φ(X), hvis verdier i knutepunktene X i samsvarer med verdiene Y(Х i ) i den opprinnelige tabellen, dvs. forhold

Bygget på denne måten tilnærmet funksjonφ(X) gjør det mulig å oppnå en ganske nær tilnærming til den interpolerte funksjonen Y(X) innenfor verdiområdet til argumentet [X 0 ; X n ], bestemt av tabellen. Når du spesifiserer verdiene til argumentet X, ikke tilhøre dette intervallet transformeres interpolasjonsproblemet til et ekstrapolasjonsproblem. I disse tilfellene, nøyaktigheten

verdier oppnådd ved beregning av verdiene til funksjonen φ(X) avhenger av avstanden mellom verdien av argumentet X fra X 0, hvis X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

I matematisk modellering kan interpoleringsfunksjonen brukes til å beregne omtrentlige verdier av funksjonen som studeres ved mellompunkter av delintervallene [Х i ; Xi+1]. Denne prosedyren kalles bordkomprimering.

Interpolasjonsalgoritmen bestemmes av metoden for å beregne verdiene til funksjonen φ(X). Det enkleste og mest åpenbare alternativet for å implementere interpoleringsfunksjonen er å erstatte funksjonen under studie Y(X) på intervallet [X i ; X i+1 ] ved en rett linje som forbinder punktene Y i , Y i+1 . Denne metoden kalles den lineære interpolasjonsmetoden.

1.2 Lineær interpolasjon

Med lineær interpolasjon bestemmes verdien av funksjonen i punkt X, plassert mellom nodene X i og X i+1, av formelen til en rett linje som forbinder to tilstøtende punkter i tabellen

I fig. Figur 1 viser et eksempel på en tabell oppnådd som et resultat av målinger av en viss mengde Y(X). Radene i kildetabellen er uthevet. Til høyre for tabellen er et spredningsplott tilsvarende denne tabellen. Tabellen er komprimert ved hjelp av formelen

(3) verdier av den tilnærmede funksjonen i punktene X som tilsvarer midtpunktene til delintervallene (i=0, 1, 2, …, n).

Figur 1. Kondensert tabell over funksjonen Y(X) og tilhørende diagram

Når man ser på grafen i fig. 1 kan det sees at punktene oppnådd som et resultat av komprimering av tabellen ved bruk av den lineære interpolasjonsmetoden ligger på rette segmenter som forbinder punktene til den opprinnelige tabellen. Lineær nøyaktighet

interpolasjon, avhenger vesentlig av arten av den interpolerte funksjonen og av avstanden mellom nodene i tabellen Xi, Xi+1.

Selvfølgelig, hvis funksjonen er jevn, så, selv med relativt lang avstand mellom noder, en graf konstruert ved å koble sammen punkter med rette linjesegmenter gjør det mulig å ganske nøyaktig vurdere karakteren av funksjonen Y(X). Hvis funksjonen endres ganske raskt, og avstandene mellom nodene er store, tillater ikke den lineære interpoleringsfunksjonen å oppnå en tilstrekkelig nøyaktig tilnærming til den virkelige funksjonen.

Den lineære interpoleringsfunksjonen kan brukes til generell foreløpig analyse og vurdere riktigheten av interpolasjonsresultater, som deretter oppnås ved andre mer nøyaktige metoder. Denne vurderingen blir spesielt relevant i tilfeller hvor beregninger utføres manuelt.

1.3 Interpolasjon med kanonisk polynom

Metoden for å interpolere en funksjon med et kanonisk polynom er basert på å konstruere den interpolerende funksjonen som et polynom i formen [1]

Koeffisientene med i for polynomet (4) er gratis parametere interpolasjoner, som er bestemt fra Lagrange-forhold:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Ved å bruke (4) og (5) skriver vi ligningssystemet

Løsningsvektoren med i (i = 0, 1, 2, …, n) av systemet med lineær algebraiske ligninger(6) eksisterer og kan bli funnet hvis det ikke er noen samsvarende noder blant i. Determinanten til system (6) kalles Vandermonde-determinanten1 og har et analytisk uttrykk [2].

1 Vandermonde determinant kalt determinant

Han lik null hvis og bare hvis xi = xj for noen. (Materiale fra Wikipedia - det frie leksikonet)

For å bestemme verdiene av koeffisienter med i (i = 0, 1, 2, …, n)

ligninger (5) kan skrives i vektormatriseform

A* C= Y,

hvor A, matrise av koeffisienter bestemt av tabellen over grader til vektoren av argumenter X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C er kolonnevektoren for koeffisientene i (i = 0, 1, 2, … , n), og Y er kolonnevektoren til verdiene Y i (i = 0, 1, 2, … , n) til den interpolerte funksjon ved interpolasjonsnodene.

Løsningen til dette systemet med lineære algebraiske ligninger kan oppnås ved å bruke en av metodene beskrevet i [3]. For eksempel i henhold til formelen

hvor A -1 er den inverse matrisen til matrise A. For å få invers matrise A -1 kan du bruke MOBR() funksjonen inkludert i settet standard funksjoner Microsoft-programmer Utmerke.

Etter at verdiene til koeffisientene med i er bestemt ved hjelp av funksjon (4), kan verdiene til den interpolerte funksjonen beregnes for en hvilken som helst verdi av argumentene.

La oss skrive matrise A for tabellen vist i fig. 1, uten å ta hensyn til radene som komprimerer tabellen.

Fig.2 Matrise av ligningssystemet for beregning av koeffisientene til det kanoniske polynomet

Ved å bruke MOBR()-funksjonen får vi matrise A -1 invers til matrise A (fig. 3). Deretter får vi i henhold til formel (9) vektoren av koeffisientene C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T vist i fig. 4.

For å beregne verdiene til det kanoniske polynomet i cellen i den kanoniske Y-kolonnen som tilsvarer verdiene x 0, introduserer vi en formel konvertert til følgende form, tilsvarende nullraden i systemet (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

I stedet for å skrive " c i " i en formel som er lagt inn i en celle Excel-tabeller, må det være en absolutt kobling til den tilsvarende cellen som inneholder denne koeffisienten (se fig. 4). I stedet for "x 0" - en relativ referanse til en celle i kolonne X (se fig. 5).

Y kanonisk(0) for verdien som samsvarer med verdien i cellen Ylin(0) . Når du strekker formelen skrevet inn i celle Y kanonisk (0), må verdiene til Y kanonisk (i) som tilsvarer nodalpunktene til originalen også falle sammen

tabeller (se fig. 5).

Ris. 5. Diagrammer bygget ved hjelp av lineære og kanoniske interpolasjonstabeller

Vi ser en sammenligning av funksjonsgrafer konstruert fra tabeller beregnet ved bruk av lineære og kanoniske interpolasjonsformler i en rekke mellomnoder betydelig avvik fra verdiene oppnådd ved bruk av lineære og kanoniske interpolasjonsformler. En mer fornuftig vurdering av nøyaktigheten av interpolering kan være basert på innhenting tilleggsinformasjon om arten av den modellerte prosessen.

Den enkleste og mest brukte typen lokal interpolasjon er Lineær interpolering. Det er det gitt poeng (x Jeg , y Jeg) kl ( i = 0. 1, ..., n) er forbundet med rette segmenter, og funksjonen f(x) en polylinje med toppunkter på disse punktene nærmer seg.

Ligningene til hvert segment av den stiplede linjen er generelt forskjellige. Siden det er n intervaller ( x Jeg - 1, x Jeg), så for hver av dem brukes ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter som ligningen for interpolasjonspolynomet. Spesielt for det i-te intervallet kan vi skrive ligningen til en rett linje som går gjennom punktene ( x Jeg -1, y Jeg -1 ) Og ( x Jeg , y Jeg), som

a i =

Derfor, når du bruker lineær interpolasjon, må du først bestemme intervallet der verdien av argumentet x faller, og deretter erstatte det med formelen (*) og finne den omtrentlige verdien av funksjonen på dette punktet

Figur 3-3-Lineær interpolasjonsgraf.

1. Løse et profesjonelt problem

Vi vedlikeholder eksperimentelle data

ORIGIN:=0 Begynnelsen av datamatrisen - teller fra bunnen av

Jeg:=1..6 Antall elementer i matrisen

Eksperimentelle data er organisert i to vektorer

La oss utføre interpolering ved å bruke innebygde MathCad-funksjoner

Lineær interpolering

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Cubic furu interpolasjon

CS:=cspline(x,y)

Konstruere en kubisk spline ved hjelp av eksperimentelle data

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

B-spline interpolasjon

Angi interpolasjonsrekkefølgen. Vektoren u må ha (n-1) færre elementer enn vektoren x, og det første elementet må være mindre enn eller lik det første elementet x, og den siste er større enn eller lik det siste elementet i x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Vi konstruerer en B-spline basert på eksperimentelle data

BSf(x i):=(BS, x,y,x i)

Vi bygger en graf over alle tilnærmingsfunksjoner på ett koordinatplan.

Figur 4.1-Graf over alle tilnærmingsfunksjoner på ett koordinatplan.

Konklusjon

I beregningsmatematikk spiller interpolering av funksjoner en betydelig rolle, d.v.s. Ved å bruke en gitt funksjon, konstruere en annen (vanligvis enklere) funksjon hvis verdier sammenfaller med verdiene til den gitte funksjonen ved et visst antall punkter. Dessuten har interpolasjon både praktisk og teoretisk betydning. I praksis oppstår ofte problemet med å rekonstruere en kontinuerlig funksjon fra dens tabulerte verdier, for eksempel oppnådd i løpet av et eksperiment. For å evaluere mange funksjoner, viser det seg at det er effektivt å tilnærme dem ved polynomer eller rasjonelle brøkfunksjoner. Interpolasjonsteori brukes i konstruksjon og studie av kvadraturformler for numerisk integrasjon, for å oppnå metoder for å løse differensial- og integralligninger. Den største ulempen med polynominterpolasjon er at den er ustabil på et av de mest praktiske og mest brukte rutenettene - rutenettet med ekvidistante noder. Hvis oppgaven tillater det, kan dette problemet løses ved å velge et nett med Chebyshev-noder. Hvis vi ikke fritt kan velge interpolasjonsnoder, eller vi rett og slett trenger en algoritme som ikke er for krevende i valget av noder, så kan rasjonell interpolasjon være et passende alternativ til polynominterpolasjon.

Fordelene med spline-interpolering inkluderer den høye prosesseringshastigheten til beregningsalgoritmen, siden en spline er en stykkevis polynomfunksjon og under interpolering behandles data samtidig for et lite antall målepunkter som tilhører fragmentet som vurderes i dette øyeblikket. Interpolert overflate beskriver romlig variasjon ulike skalaer og er samtidig glatt. Sistnevnte omstendighet gjør det mulig å analysere overflatens geometri og topologi direkte ved hjelp av analytiske prosedyrer