Същността на оптимизацията по метода на неопределените множители на Лагранж. Минимумът и максимумът се обединяват от понятието екстремум

Теорема 1. Нека точката е условната точка на екстремум на функцията, когато уравненията на връзката (3) са изпълнени. Тогава съществуват такива числа, че условията са изпълнени в точката

Последица. Да сложим

където са числата, посочени в теоремата. Функция (8) се нарича функция на Лагранж. Ако една точка е условна точка на екстремум за функция, то тя е стационарна точка за функцията на Лагранж, т.е. в този момент

Доказателство на теоремата. Нека е условната точка на екстремум за функцията и нека условието (4) е изпълнено в тази точка за определеност. Тогава точката е точката на обичайния екстремум за функцията, следователно в точката

откъдето, използвайки инвариантността на формата на първия диференциал, за точката имаме

Замествайки (5) в (3) и разграничавайки получената идентичност в определена околност на точката и следователно в самата точка, получаваме

Във формула (11), както и във формула (10), диференциалите са диференциали на независими променливи, а диференциалите са диференциали на функции.

Каквито и да са числата, умножавайки равенството (11) в точката за функцията по и събирайки ги заедно и с равенството (10), получаваме

Като избра така, че равенствата да важат в точката

Това винаги е възможно, тъй като (13) е система от уравнения, линейни по отношение на детерминантата

не е равно на нула.

С този избор, който имаме

Тук всички диференциали са диференциали на независими променливи и следователно самите те са независими променливи, които могат да приемат всякакви стойности. Като вземем всички други диференциали, включени във формула (14), равно на нула, получаваме

По този начин ние доказахме съществуването на такива, че условията (13) и (15) са изпълнени, т.е. условия (7).

Теоремата е доказана.

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция чрез метода на умножителя на Лагранж

Нека е необходимо да се намери екстремумът на функция от n променливи f(x 1 ,x 2 ,…,x n), при условие че променливите x 1 ,x 2 ,…,x n са свързани чрез отношения (ограничения)

сред които броят m на ограниченията на равенството е по-малък от броя n на променливите, а броят и r на ограниченията на неравенството могат да бъдат произволни.

За да намерите стойностите (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X, които задължително осигуряват екстремумите на функцията f(X), можете да използвате метода на Лагранж на неопределените множители:

1. Ограниченията на неравенството g(X)0 се редуцират до формата (X)0, където (X) = - g(X).
2. Получени ограничения на неравенството

на свой ред се свеждат до ограничения за равенство чрез въвеждане на +r допълнителни променливи

В резултат на това проблемът за намиране на условен екстремум ще приеме каноничната форма:

в която отношението m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустими решения, и следователно намиране сред тях на тези, които осигуряват екстремум f(X).

3. Функцията на Lagrange се компилира:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

в които допълнителните променливи ( 1 ,…, m++r )= се наричат неопределени множители на Лагранж.

За конструираната функция на Лагранж можем да поставим задачата за намиране на безусловния екстремум

резултатът от решението ще съвпадне с желаното решение първоначален проблемнамиране на условен екстремум.

4. За функцията Ф(Х,) съставяме необходимите условияналичие на екстремум:

5. Получената система от уравнения Ф(Х,) = 0 се решава и в резултат на решението се намират стойностите

отговарящи на необходимите условия за съществуване на екстремум.

6. За да решите дали има максимуми или минимуми в намерените точки, трябва да използвате достатъчни условияналичие на екстремуми, които за гладки функции Ф() се формулират по следния начин:

ако в даден момент матрицата на вторите производни е положително определена, тогава минимумът на функцията f(X) лежи в анализираната точка;

Използва се за решаване на задачи с аналитичен израз за критерия за оптималност и при наличие на ограничения върху независимия тип променливиравно на За да се получи аналитично решение, е необходимо ограниченията да имат аналитична форма. Използването на неопределени множители на Лагранж ни позволява да намалим оптимизационния проблем с ограничения до проблем, решен чрез методи за изследване на функциите на класическия анализ. В този случай редът на системата от уравнения, решени за намиране на екстремума на оптимизационния критерий, се увеличава с броя на ограниченията. Методът е ефективен, когато броят на променливите е три или по-малко. Методът се използва и когато броят на променливите е повече от три, ако процесът се описва с крайни уравнения.

Нека е необходимо да се намери екстремумът на функция, която зависи от n променливи, които от своя страна са свързани с отношения. Екстремумът, постигнат от функция, като се вземе предвид изпълнението на условията, се нарича относителен или условен. Ако броят на променливите е равен на броя на отношенията (), тогава необходимите неизвестни се намират чрез решаване на системата от уравнения, описана от отношенията. Решаването на проблема с оптимизацията се свежда до проверка на стойностите на променливите, намерени по този начин, спрямо функциите. По този начин екстремният проблем може да бъде решен чрез просто изброяване на променливи, които отговарят на условията.

Ако м< n , тогава можем да намерим зависимостта от уравненията за свързване мпроменливи от n - mостаналите променливи, т.е.

Функцията може да бъде получена чрез заместване на получените променливи във функцията. Тогава ще зависи само от несвързани променливи допълнителни условия. Следователно, чрез премахване на ограниченията е възможно да се намали размерът на първоначалния проблем за оптимизация. Често проблемът не може да бъде решен аналитично по този начин. Следователно, за решаване на задачи за намиране на екстремума на функция на много променливи обикновено се използва методът на Лагранж на неопределените множители.

Когато се въвеждат нови променливи, наречени неопределени множители на Лагранж, става възможно да се въведе нова функция

тези. функция m+nпроменливи, в които като неразделна част са включени ограниченията, наложени от системата от функции.

Екстремна стойност на функция съвпада с екстремна стойност на функция, ако условието за ограничение е изпълнено. Необходимо условие за екстремума на функция на много променливи е диференциалът на тази функция в екстремалната точка да е равен на нула, т.е.

За да бъде изпълнен този израз за всякакви стойности на независимите диференциали, е необходимо коефициентите на тези диференциали да бъдат равни на нула, което дава система от уравнения

В този случай от условието се определят нови независими

Може да се получи комбинация от системи (4.3.1) и (4.3.2).

Така задачата във формата (4.3.3) се свежда до задачата: намери

Отделно трябва да се отбележи, че в общия случай методът на умножителя на Лагранж позволява да се намерят само необходимите условия за съществуването на условен екстремум за непрекъснати функции, имащи непрекъснати производни. Въпреки това от физически смисълрешаваният проблем обикновено знае дали говорим за максимума или минимума на функцията; освен това, като правило, в задачите за проектиране функцията на разглеждания сегмент е унимодална. Следователно при проблеми с проектиране не е необходимо да се проверяват стойностите на променливите, открити при решаването на разглежданите системи от уравнения за екстремум, като се използва анализ на производни от по-висок ред.

1.9 Метод на Лагранж за неопределени множители

Естествено, решаване на проблеми условна оптимизациямного по-трудни решениязадачи безусловна оптимизация. Естествено е да се стремим да сведем проблема за условната оптимизация (търсене на относителен екстремум) до по-прост проблем за безусловна оптимизация (търсене на абсолютен екстремум). Тази процедура се извършва по метода на Лагранж. Нека да разгледаме същността на този метод.

Трябва да се намери условна крайност нелинейна функция

n променливи с m ограничения

(1.56)

Ограниченията на неравенството се трансформират в равенства, а свободните членове се прехвърлят в левите страни на ограниченията, т.е. система (1.56) се свежда до формата

(1.57)

В съответствие с метода на Лагранж вместо относителния екстремум на функцията (1.55) при ограничения (1.57) се търси абсолютният екстремум на функцията на Лагранж, който има следния вид:

Където - неопределени факториЛагранж, които, подобно на променливите, са търсените променливи.

Може да се види, че функцията на Лагранж включва целевата функция плюс всяко ограничение, умножено по множителя на Лагранж.

Доказано е, че относителният екстремум целева функция(1.55) при ограничения (1.57) съвпада с абсолютния екстремум на функцията на Лагранж (1.58).

Извършва се търсене на абсолютния екстремум на функция (1.58). известни методи. По-специално, частните производни на функцията на Лагранж се определят и равняват на нула:

(1.59)

Последните m уравнения представляват ограничения (1.57) на проблема за оптимизация.

Система (1.59) съдържа (m+n) уравнения и същия брой неизвестни.

Системата за решаване (1.59) ще даде координатите на абсолютния минимум на функцията на Лагранж (1.58) или относителния минимум на целевата функция (1.55) при ограничения (1.57).

Решението на система (1.59) се извършва с помощта на добре известни методи на изчислителната математика. Ако системата (1.59) е линейна, обикновено се използва методът на Гаус. Ако системата (1.59) е нелинейна – метод на Нютон.

1.10 Избор на метод за оптимизация

Преди да изберем метод за оптимизация, ще направим кратък анализ на проблемите, които разработваният софтуер трябва да реши:

програмата трябва да реши проблема с условното минимизиране, т.е. намерете относителния екстремум, тъй като в математически моделв допълнение към линейните ограничения ще се появят и нелинейни;

тъй като целевата функция е функция на няколко променливи, тя може да има няколко екстремума, в който случай програмата трябва да търси локален минимум.

След анализ на най-често използваните методи за оптимизация, за постигане на тази цел беше избран градиентният метод на квадратично програмиране, който е най-ефективният от горните градиентни методи, модифициран с методи на полиномиална апроксимация.

Предполага се, че целевата функция и граничните условия са апроксимирани чрез квадратични зависимости или полиноми от втори ред. Този метод ще бъде разгледан по-подробно по-късно в раздела „Разработване“. софтуерметод за оптимизация".

Този методви позволява да създавате надеждна програма, отговарящи на всички горепосочени изисквания.

2. Разработване на метод за оптимизация на повторно активна мощност

Общата мощност на компенсиращите устройства, необходими в електроенергийната система (ЕЕС), се определя от уравнението за баланс на реактивната мощност (6.1). Тази мощност трябва да бъде поставена във възли електрическа мрежас минимални разходи.

където е общата реактивна мощност, генерирана в ЕЕС, включително реактивната мощност, идваща от съседна ЕЕС;

Общата реактивна мощност на потребителите на ЕЕС, включително реактивната мощност, подадена към съседни ЕЕС;

Обща реактивна мощност за собствени нужди на централите;

Общи загуби на реактивна мощност;

Обща консумация на реактивна мощност в EPS.

Нека разгледаме най-простата схема съществуваща мрежа(фиг. 2.1). от източник на захранване с напрежение U, чрез съпротивлението на мрежата R, товарът се захранва с мощност S=P+jQ. На товарните шини е монтирано компенсаторно устройство с капацитет Qk.

Фигура 2.1 – Най-простата схемакомпенсация на реактивната мощност

Загубите на активна мощност в линията, ако потребителят няма компенсиращо устройство () са

. (2.2)

При инсталиране на компенсиращо устройство () при потребителя, тези загуби ще намалеят до стойността

. (2.3)

По този начин компенсацията на реактивната мощност позволява да се намалят загубите на активна мощност в захранващата верига и следователно да се подобрят техническите и икономически показатели на тази верига.

Нека да оценим въздействието на CG върху мрежовите разходи.

Изразът за общите разходи за пренос на мощност към товара при инсталиране на топлообменника ще има формата:

(2.4)

където ZK – разходи за CG;

соΔР – разходи за покриване на загубите на активна мощност в мрежата;

с – цена на единица загубена активна мощност;

зк – единични разходи за CG.

За да определим минимума на функция 3, приравняваме нейната производна на променливата QK на нула:

(2.5)

От (2.5) се определя икономически осъществимата реактивна мощност, чието предаване от източника към потребителя съответства на минималните разходи

(2.6)

Стойността на QE не зависи от активната мощност P, а зависи само от съотношението на разходните показатели zk и co и параметрите на мрежата U и R, през която се пренася мощността.

Сложен е въпросът за поставянето на компенсаторни устройства в електрическата мрежа на реална ЕЕС. проблем с оптимизацията. Предизвикателството е, че електроенергийните системи са големи системи, съставени от взаимосвързани подсистеми. Невъзможно е всяка отделна подсистема да се разглежда изолирано, тъй като свойствата големи системиопределя се от характера на взаимовръзките на отделните подсистеми.

При анализ на големи системи се използва системен подход, според която анализът голяма системасе извършва, когато се разделя на подсистеми, които не са пряко свързани една с друга, но си влияят повече чрез системата високо ниво.

Във връзка с разглеждания въпрос електрическата мрежа изглежда на различни нива, както е показано на фиг. 2.2. горното ниво е електрическа мрежа с напрежение 110 kV и повече. Тази сложна електрическа мрежа, представена от пълна еквивалентна схема, е показана на фиг. 2.2 условно като ES1. Реактивните мощности, генерирани от генератори на електроцентрали QES, компенсаторни устройства QK, електропроводи QС, както и реактивни мощности, протичащи през връзки със съседни ЕС2 и ЕС3 (Q12, Q21, Q13, Q31), осигуряват налична реактивна мощност Qр1 в ЕС1.

Фигура 2.2 – Разположение на блока за управление в електрическата мрежа

Второто ниво е набор от n отворени локални разпределителни мрежи с напрежение 35 kV и по-ниско, свързани към n възли на електрическата мрежа Най-високо нивочрез трансформатори T. Тези локални разпределителни мрежи не са пряко свързани една с друга, но си влияят една на друга чрез мрежата от по-високо ниво. Синхронни генератори, компенсатори и двигатели във всяка такава разпределителна мрежаса представени от една еквивалентна синхронна машина G. Консуматори ниско напрежение P+jQ се захранват от локални електрически мрежи чрез разпределителни трансформатори Т1.

Компенсиращите устройства могат да бъдат инсталирани на високоволтови (jQkv) и нисковолтови (jQks) шини на трансформатори Т, както и на 0,4 kV шини на разпределителни трансформатори Т1 и в самата мрежа 0,4 kV (jQkn). Стойността на мощността на тези HRSG подлежи на определяне.

IN общ изгледпроблемът за оптимизиране на разположението на CP се формулира, както следва: да се определят реактивните мощности на синхронните машини G, налични във възлите 6...35 kV, мощността на CP в мрежи с всички напрежения Qkv, Qks, Qkn , както и стойностите на реактивните мощности Qеi (i=1, 2, …n), предавани в потребителската мрежа, което осигурява минимум общи разходи.

Изчисленията на компенсацията на реактивната мощност за мрежи от всякакъв тип се извършват както при проектирането на развитието на електрическите мрежи, така и при техните работни условия. При проектирането се определя мощността на топлообменника и се решава проблема с разпределението им в електрическата мрежа. При условия на работа определете оптимални режиминалични CU през деня. Критериите за оптималност в този случай са минималните загуби на мощност и енергия и съответствието на отклоненията на напрежението приемливи стойности.

При проектирането на верига за захранване, като правило, паричните разходи на тази верига са сведени до минимум. Намаляването на загубите на мощност чрез инсталиране на топлообменник намалява цената на веригата поради следните причини:

всеки kW загубена мощност трябва да се генерира в електроцентралите и следователно да се изразходва за тях пари в брой;

генерирането на загубена реактивна мощност в електроцентралите е много по-скъпо от потреблението (3 пъти!).

Компенсиращите устройства обаче изискват и финансови разходи.

В тази връзка възниква проблемът за определяне на оптималната мощност на компенсиращите устройства, която отговаря на минималните общи разходи. Този проблем принадлежи към проблема за неограничената оптимизация и може да бъде решен например чрез градиентни методи.

Нека разгледаме такъв проблем за главната верига на захранване (фиг. 2.3). Необходимо е да се определи мощността на компенсиращите устройства QK1 и QK2 във възли 1 и 2 въз основа на условието за минимални общи разходи за инсталиране на тези устройства и покриване на загубите на активна мощност във веригата.

Фигура 2.3 – Схема на захранване

Първоначални данни:

напрежение на веригата U;

линейни съпротивления R1 и R2;

реактивни товари на възли 1 и 2 Q1 и Q2;

специфични разходи за инсталиране на компенсиращи устройства зо;

специфични разходи за покриване на загуби на активна мощност c.

Целевата функция, която е общи разходиза инсталиране на компенсиращи устройства и покриване на загубите на активна мощност във веригата, има следния вид

където a1=R1∙co∙10-3/U2=0,0006;

a2=R2∙co∙10-3/U2=0,0004.

Въвеждането на числов коефициент 10-3 е необходимо, за да се приведат всички компоненти на целевата функция в едно измерение (cu).

За да решим проблема, избираме метода на координатно спускане. Нека определим частните производни на целевата функция Z по отношение на променливите Q1 и Q2:

(2.8)

Да вземем първоначалното приближение:

За тези стойности изчисляваме стойностите на целевата функция и нейните частични производни.

Да приемем, че по посока на променливата Qk2 целевата функция Z намалява по-силно, отколкото по посока на променливата Qk1, т.е.

(2.10)

По посока на променливата Qk2 ще започнем нашето спускане.

Да вземем размера на стъпката = 400 kvar. Първото приближение (първата стъпка) ще бъде Qk11=0, Qk21=400 kvar. Изчисляваме стойността на целевата функция Z1.

Втора стъпка: Qk12=0, Qk22=400 kvar. Изчисляваме стойността на целевата функция Z2.

Спускането по координатата Qk2 трябва да продължи до Zn

Нека направим нова стъпка в посока на друга променлива Qk1. Намира се нова стойност на целевата функция Z. Спускането по тази променлива продължава по същия начин както в посока Qk2 - до Zm

Точката с получените координати Qk1m-1, Qk2n-1 се намира в околността на минимума на целевата функция Z. При приетата дължина на стъпката = 400kvar не може да се получи по-точно решение. За да получите по-точно решение, е необходимо да намалите стъпката и да продължите спускането. Абсолютно сигурно е, че колкото по-малка е стъпката, толкова по-точен ще бъде резултатът. Не можем да постигнем такава точност чрез ръчно изчисление. За да се реши този проблем, би било препоръчително да се използва софтуер, предназначен за решаване на проблеми с нелинейно програмиране с нелинейни ограничения. Един такъв език за програмиране е C++.

Това се смяташе за неограничен оптимизационен проблем, т.е. намиране на абсолютния минимум. При решаването на поставения проблем, за да се намери оптималният режим на работа на мрежата на OJSC Ilyich Iron and Steel Works, е необходимо да се намери относителен минимум, тъй като системата от ограничения ще има нелинейна форма (вижте по-долу „Разработка на софтуер “). Така се изправяме пред задачата за условна оптимизация за реактивна мощност, за която използваме предварително избрания градиентен метод на квадратично програмиране.

Информация за работата „Анализ на режимите на работа на електрическите мрежи на OJSC Ilyich Iron and Steel Works и разработване на адаптивна система за управление на режимите на потребление на енергия“

Метод на множителяЛагранж(в англоезичната литература „Методът на LaGrange на неопределените множители“) ˗ е числен метод за решаване на оптимизационни проблеми, който ви позволява да определите „условния“ екстремум на целевата функция (минимална или максимална стойност)

при наличие на определени ограничения върху неговите променливи под формата на равенства (т.е. определен е обхватът на допустимите стойности)

˗ това са стойностите на аргумента на функцията (контролируеми параметри) в реалната област, при която стойността на функцията клони към екстремум. Използването на името „условен“ екстремум се дължи на факта, че върху променливите се налага допълнително условие, което ограничава обхвата на допустимите стойности при търсене на екстремума на функцията.

Методът на умножителя на Лагранж позволява проблемът за търсене на условен екстремум на целева функция върху набор от допустими стойности да се трансформира в проблем за безусловна оптимизация на функция.

В случай, че функциите И са непрекъснати заедно с техните частни производни, тогава има такива променливи λ, които не са едновременно равни на нула, при които е изпълнено следното условие:

Така, в съответствие с метода на умножителя на Лагранж, за да намеря екстремума на целевата функция върху множеството от допустими стойности, съставям функцията на Лагранж L(x, λ), която е допълнително оптимизирана:

където λ ˗ е вектор от допълнителни променливи, наречени неопределени множители на Лагранж.

Така проблемът за намиране на условния екстремум на функцията f(x) се свежда до проблема за намиране на безусловния екстремум на функцията L(x, λ).

Необходимото условие за екстремума на функцията на Лагранж се дава от система от уравнения (системата се състои от „n + m“ уравнения):

Решаването на тази система от уравнения ни позволява да определим аргументите на функцията (X), при които стойността на функцията L(x, λ), както и стойността на целевата функция f(x) съответстват на екстремума.

Големината на множителите на Лагранж (λ) е от практически интерес, ако ограниченията са представени във вид със свободен член в уравнението (константа). В този случай можем да разгледаме допълнително (увеличаване/намаляване) стойността на целевата функция чрез промяна на стойността на константата в системата от уравнения. По този начин множителят на Лагранж характеризира скоростта на промяна на максимума на целевата функция при промяна на ограничаващата константа.

Има няколко начина да се определи естеството на екстремума на получената функция:

Първи метод: Нека е координатите на екстремалната точка и е съответната стойност на целевата функция. Взема се точка, близка до точката, и се изчислява стойността на целевата функция:

Ако , тогава има максимум в точката.

Ако , тогава има минимум в точката.

Втори метод: Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът на втория диференциал на функцията на Лагранж. Вторият диференциал на функцията на Лагранж се дефинира, както следва:

Ако в даден момент минимум, ако , тогава целевата функция f(x) има условие максимум.

Трети метод: Също така, природата на екстремума на функцията може да се определи чрез разглеждане на Хесиана на функцията на Лагранж. Хесианската матрица е симетрична квадратна матрица от втори частични производни на функция в точката, в която елементите на матрицата са симетрични спрямо главния диагонал.

За да определите вида на екстремума (максимум или минимум на функция), можете да използвате правилото на Силвестър:

1. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с положителен знак необходимо е ъгловите минори на функцията да са положителни. При такива условия функцията в тази точка има минимум.

2. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с отрицателен знак , необходимо е ъгловите минори на функцията да се редуват, а първият елемент на матрицата трябва да е negativesv. При такива условия функцията в тази точка има максимум.

Под ъглов минор имаме предвид минора, разположен в първите k реда и k колони на оригиналната матрица.

Основното практическо значение на метода на Lagrange е, че ви позволява да преминете от условна оптимизация към безусловна оптимизация и съответно да разширите арсенала от налични методи за решаване на проблема. Въпреки това, проблемът за решаване на системата от уравнения, до която се свежда този метод, в общия случай не е по-прост от първоначалния проблем за намиране на екстремум. Такива методи се наричат индиректни. Използването им се обяснява с необходимостта да се получи решение на екстремален проблем в аналитична форма (например за определени теоретични изчисления). При решаването на конкретни практически проблеми обикновено се използват директни методи, базирани на итеративни процеси на изчисляване и сравняване на стойностите на оптимизираните функции.

Метод на изчисление

1 стъпка: Определяме функцията на Лагранж от дадената целева функция и система от ограничения:

Напред

За да добавите коментар към статията, моля, регистрирайте се на сайта.

Метод на умножителя на Лагранже класически метод за решаване на задачи по математическо програмиране (по-специално, изпъкнало програмиране). За съжаление, практическото приложение на метода може да срещне значителни изчислителни затруднения, стесняващи обхвата на неговото използване. Тук разглеждаме метода на Лагранж главно защото това е апарат, който се използва активно за обосноваване на различни съвременни числени методи, които се използват широко в практиката. Що се отнася до функцията на Лагранж и множителите на Лагранж, те играят независима и изключително важна роля в теорията и приложенията не само на математическото програмиране.

Помислете за проблема с класическата оптимизация

макс. (мин.) z=f(x) (7.20)

Този проблем се отличава от проблем (7.18), (7.19) по това, че сред ограниченията (7.21) няма неравенства, няма условия променливите да бъдат неотрицателни, тяхната дискретност и функциите f(x) са непрекъснати и имат частни производни поне от втори ред.

Класическият подход за решаване на задача (7.20), (7.21) дава система от уравнения (необходими условия), които трябва да бъдат удовлетворени от точката x*, която осигурява на функцията f(x) локален екстремум върху множеството точки, удовлетворяващи ограничения (7.21) (за проблема с изпъкнало програмиране, намерената точка x*, в съответствие с теорема 7.6, ще бъде едновременно точка на глобален екстремум).

Да приемем, че в точка x* функция (7.20) има локален условен екстремум и рангът на матрицата е равен на . Тогава необходимите условия ще бъдат записани във формата:

(7.22)

има функция на Лагранж; - Множители на Лагранж.

Съществуват и достатъчни условия, при които решението на системата от уравнения (7.22) определя точката на екстремума на функцията f(x). Този въпрос се решава въз основа на изследването на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж. Достатъчните условия обаче представляват предимно теоретичен интерес.

Можете да зададете следната процедура за решаване на задача (7.20), (7.21), като използвате метода на умножителя на Лагранж:

1) съставете функцията на Лагранж (7.23);

2) намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на всички променливи и ги задайте равни на нула. Това ще доведе до система (7.22), състояща се от уравнения. Решете получената система (ако това се окаже възможно!) и по този начин намерете всички стационарни точки на функцията на Лагранж;

3) от стационарни точки, взети без координати, изберете точки, в които функцията f(x) има условни локални екстремуми при наличие на ограничения (7.21). Този избор се прави, например, като се използват достатъчни условия за локален екстремум. Често изследването се опростява, ако се използват специфични условия на проблема.

Пример 7.3. Намерете оптималното разпределение на ограничен ресурс в единици. между n потребители, ако печалбата, получена от разпределянето на x j единици ресурс на j-тия потребител, се изчислява по формулата .

Решение.Математическият модел на задачата има следния вид:

Съставяме функцията на Лагранж:

Намираме частични производни на функцията на Лагранж и ги приравняваме към нула:

Решавайки тази система от уравнения, получаваме:

Така, ако на j-тия потребител са разпределени единици. ресурс, тогава общата печалба ще достигне максималната си стойност и ще възлиза на ден. единици

Разгледахме метода на Лагранж, приложен към класически оптимизационен проблем. Този метод може да се обобщи за случая, когато променливите са неотрицателни и някои ограничения са дадени под формата на неравенства. Това обобщение обаче е предимно теоретично и не води до конкретни изчислителни алгоритми.

В заключение, нека дадем икономическа интерпретация на множителите на Лагранж. За да направим това, нека се обърнем към най-простия класически проблем за оптимизация

макс. (мин.) z=f(х 1 , х 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

Да приемем, че условният екстремум е достигнат в точка . Съответната екстремна стойност на функцията f(х)

Да приемем, че в ограниченията (7.25) количеството bмогат да се променят, тогава координатите на екстремалната точка и следователно екстремната стойност е*функции f(х) ще станат количества в зависимост от b, т.е. ,и следователно производната на функция (7.24)